Question

13．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的頂點(diǎn)A、C的坐標(biāo)分別為（2，0）、（0，3），拋物線y=-x²+bx+c經(jīng)過(guò)B、C兩點(diǎn)，交x軸于點(diǎn)E和點(diǎn)F，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)E出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度沿E→O→C→B向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，以相同的速度沿B→A→F運(yùn)動(dòng)，到點(diǎn)F后，繼續(xù)沿x軸正方向運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)B時(shí)點(diǎn)Q隨之停止運(yùn)動(dòng)．
（1）求拋物線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式
（2）設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（秒），試探究是否存在這樣的t，使點(diǎn)P、Q所在的直線將矩形OABC分成面積相等的兩部分，若存在，求出t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由
（3）設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為D，求出當(dāng)△DPQ為等腰三角形時(shí)t的值
（4）直接寫出以P、Q、C、F為頂點(diǎn)的四邊形為軸對(duì)稱圖形或中心對(duì)稱圖形時(shí)t的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用待定系數(shù)法即可解決問(wèn)題．
（2）分四種情形討論①如圖當(dāng)點(diǎn)P在OE上時(shí)，矩形的對(duì)角線AC與OB交于點(diǎn)H，則H（1，$\frac{3}{2}$）．求出直線PQ的解析式（用t表示），然后利用待定系數(shù)法解決．②當(dāng)點(diǎn)P在線段OC上，點(diǎn)Q在線段AB上時(shí)，直線PQ不可能經(jīng)過(guò)點(diǎn)H，此時(shí)不存在．③當(dāng)點(diǎn)P在線段OC上，點(diǎn)Q在射線AF上時(shí)，方法類似①，④當(dāng)點(diǎn)P在線段BC上時(shí)，顯然直線PQ不經(jīng)過(guò)點(diǎn)H，此時(shí)不存在．
（3）分兩種情形①如圖3中，當(dāng)DP=QD時(shí)，△DPQ是等腰三角形．②如圖3中，當(dāng)PD=PQ時(shí)，△PQD是等腰三角形．分別列出方程即可解決．
（4）分兩種情形①如圖4中，當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)A重合時(shí)，OP=OA，易知四邊形PCFQ是等腰梯形，是軸對(duì)稱圖形，②如圖5中，當(dāng)點(diǎn)Q在線段BC上時(shí)，易知四邊形CPQF是平行四邊形，是中心對(duì)稱圖形，即可解決問(wèn)題．

解答 解：（1）∵拋物線拋y=-x²+bx+c經(jīng)過(guò)B、C兩點(diǎn)經(jīng)過(guò)C（0，3），B（2，3），
∴$\left\{\begin{array}{l}{c=3}\\{-4+2b+c=3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{c=3}\end{array}\right.$，
∴拋物線的解析式為y=-x²+2x+3，

（2）①如圖當(dāng)點(diǎn)P在OE上時(shí)，矩形的對(duì)角線AC與OB交于點(diǎn)H，則H（1，$\frac{3}{2}$）．

∵P（t-1，0），Q（2，3-t），
∴直線PQ的解析式為y=x+1-t，
當(dāng)直線PQ經(jīng)過(guò)點(diǎn)H時(shí)，直線PQ平分矩形ABCD的面積，
∴$\frac{3}{2}$=1+1-t，
∴t=$\frac{1}{2}$．
②當(dāng)點(diǎn)P在線段OC上，點(diǎn)Q在線段AB上時(shí)，直線PQ不可能經(jīng)過(guò)點(diǎn)H，此時(shí)不存在．
③當(dāng)點(diǎn)P在線段OC上，點(diǎn)Q在射線AF上時(shí)，
∵P（0，t-1），Q（2+t-3，0），
∴直線PQ的解析式為y=-x+t-1，
當(dāng)直線PQ經(jīng)過(guò)點(diǎn)H時(shí)，直線PQ平分矩形ABCD的面積，
∴$\frac{3}{2}$=-1+t-1，
∴t=$\frac{7}{2}$，
④當(dāng)點(diǎn)P在線段BC上時(shí)，顯然直線PQ不經(jīng)過(guò)點(diǎn)H，此時(shí)不存在．
綜上所述，當(dāng)t=$\frac{1}{2}$s或$\frac{7}{2}$s時(shí)，直線PQ平分矩形ABCD的面積．

（3）①如圖3中，當(dāng)DP=QD時(shí)，△DPQ是等腰三角形．

根據(jù)對(duì)稱性可知，PC=BQ，
∴4-t=t，
∴t=2．
②如圖3中，當(dāng)PD=PQ時(shí)，△PQD是等腰三角形．

∵D（1，4），P（0，t-1），Q（2，3-t），
∴1²+（t-5）²=2²+（4-t+3-t）²，
∴t=3．
綜上所述，t=2或3時(shí)，△DPQ是等腰三角形．

（4）①如圖4中，當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)A重合時(shí)，OP=OA，易知四邊形PCFQ是等腰梯形，是軸對(duì)稱圖形，

當(dāng)點(diǎn)Q在射線AF上時(shí)，OP=OQ=t-1，四邊形PCFQ是等腰梯形，
∴3≤t≤4時(shí)，四邊形PCQF是軸對(duì)稱圖形．

②如圖5中，當(dāng)點(diǎn)Q在線段BC上時(shí)，易知四邊形CPQF是平行四邊形，是中心對(duì)稱圖形，

∴4＜t≤6時(shí)，四邊形CPQF是中心對(duì)稱圖形．
綜上所述，3≤t≤6時(shí)，以P、Q、C、F為頂點(diǎn)的四邊形為軸對(duì)稱圖形或中心對(duì)稱圖形．

點(diǎn)評(píng) 本題考查二次函數(shù)綜合題、一次函數(shù)的應(yīng)用、矩形的性質(zhì)、等腰三角形的判定和性質(zhì)，軸對(duì)稱圖形、中心對(duì)稱圖形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)，學(xué)會(huì)用分類討論的思想思考問(wèn)題，學(xué)會(huì)利用圖象解決問(wèn)題，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想，屬于中考?jí)狠S題．