Question

【題目】我市某高科技公司生產(chǎn)一種矩形新型材料板，其長(zhǎng)寬之比為 3∶2，每張材料板的成本 c與它的面積成正比例。每張材料板的銷(xiāo)售價(jià)格 y與其寬 x 之間滿足我們學(xué)習(xí)過(guò)的某種函數(shù)關(guān)系(即一次函數(shù)、反比例函數(shù)和二次函數(shù)關(guān)系中的一種)，下表記錄了該工廠生產(chǎn)、銷(xiāo)售該材料板一些數(shù)據(jù)：

（1）求一張材料板的銷(xiāo)售格 y 其寬 x 之間的函數(shù)關(guān)系式 （不必寫(xiě)出自變的取值范圍）

（2）若一張材料板的利潤(rùn) w 為銷(xiāo)售價(jià)格 y與成本 c 的差

①請(qǐng)直接寫(xiě)出一張材料板的利潤(rùn) w 其寬 x 之間的函數(shù)關(guān)系 （不必寫(xiě)出自變的取值范圍）

②當(dāng)材料板的寬為多少時(shí)，一張材料板的利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是多少？

Answer 1

【答案】（1） ；（2） ① ；②當(dāng)寬為60cm時(shí)，利潤(rùn)最大 ，最大利潤(rùn)為900元.

【解析】

（1）根據(jù)圖表可知所有點(diǎn)在一條直線上，故是一次函數(shù)，然后用待定系數(shù)法求出解析式并驗(yàn)證；

（2）①因?yàn)殚L(zhǎng)寬之比為3：2，當(dāng)寬為x時(shí)，則長(zhǎng)為1.5x，根據(jù)矩形的面積公式可得x和y的關(guān)系進(jìn)而得到c和x的關(guān)系，所以一張材料板的利潤(rùn)w與其寬x之間的函數(shù)關(guān)系可求出；②利用①中的函數(shù)性質(zhì)即可求出當(dāng)材料板的寬為多少時(shí)，一張材料板的利潤(rùn)最大，以及最大利潤(rùn)是多少．

解：（1）根據(jù)表中的數(shù)據(jù)判斷，銷(xiāo)售價(jià)格y于寬x之間的函數(shù)關(guān)系是一次函數(shù)，設(shè)其解析式為y＝kx＋b，

則24k＋b＝780，30k＋b＝900，

解得：k＝20，b＝300，

將x＝42，y＝1140和x＝54，y＝1380代入檢驗(yàn)，滿足條件

所以其解析式為y＝20x＋300；

（2）①∵矩形材料板，其長(zhǎng)寬之比為3：2，

∴當(dāng)寬為x時(shí)，則長(zhǎng)為1.5x，

c＝1.5kx2；k＝，

即c＝x2，

∴w＝x2＋20x＋300；

②由①可知：w＝x2＋20x＋300＝（x60）2＋900，

∴當(dāng)材料板的寬為60cm時(shí)，一張材料板的利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是900元．