Question

如圖1，矩形OABC的頂點(diǎn)B在直線y=

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x上，已知OA=10．
（1）求出B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）如圖2，過點(diǎn)B的直線與x軸交于點(diǎn)D，連接CD，將△DCB沿直線BD翻折，使點(diǎn)C落在x軸上的E點(diǎn)．試問：四邊形CDEB是菱形嗎？若是，請寫出推理過程，并寫出此時(shí)直線BD的表達(dá)式；若四邊形CDEB不是菱形，請說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：一次函數(shù)綜合題

專題：壓軸題

分析：（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)可得AB⊥OA，從而得到點(diǎn)B的橫坐標(biāo)，然后代入直線解析式求出AB的長度，即可得到點(diǎn)B的坐標(biāo)，再根據(jù)矩形的對邊相等可得OC=AB，然后寫出點(diǎn)C的坐標(biāo)即可；
（2）根據(jù)翻折的性質(zhì)可得CD=DE，BC=BE，∠CBD=∠EBD，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等可得∠CBD=∠BDE，從而得到∠EBD=∠BDE，再根據(jù)等角對等邊可得DE=BE，從而得到CD=DE=BE=BC，再根據(jù)四條邊都相等的四邊形是菱形證明即可．

解答：解：（1）在矩形OABC中，AB⊥OA，
∵OA=10，
∴點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為10，
∵點(diǎn)B在直線y=

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x上，
∴AB=y=

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×10=8，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（10，8），
∵四邊形OABC是矩形，
∴OC=AB=8，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，8）；

（2）四邊形CDEB是菱形．
理由如下：∵△DCB沿直線BD翻折點(diǎn)C落在x軸上的E點(diǎn)，
∴CD=DE，BC=BE，∠CBD=∠EBD，
∵OA∥BC，
∴∠CBD=∠BDE，
∴∠EBD=∠BDE，
∴DE=BE，
∴CD=DE=BE=BC，
∴四邊形CDEB是菱形．

點(diǎn)評：本題是一次函數(shù)綜合題，主要利用了矩形的性質(zhì)，一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，翻折變換的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，等角對等邊的性質(zhì)，菱形判定，難點(diǎn)在于（2）求出四邊形的四條邊都相等．