Question

如圖，△ABC和△DEF是兩個全等的等腰直角三角形，AB=DE=4，∠ACB=∠DFE=90°，△DEF的頂點E與△ABC的斜邊AB的中點重合．將△DEF繞點E旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)過程中，線段DE、EF分別交線段CA、BC于點M、N．
（1）如圖①，當(dāng)線段EF經(jīng)過△ABC的頂點C時，點N與點C重合，線段DE交AC于M，則線段AM與MC的數(shù)量關(guān)系是

 

；
（2）如圖②，求證：AM=MN+CN．

Answer 1

考點：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),等腰直角三角形

專題：

分析：（1）根據(jù)AC=BC，E為AB中點，得出CE⊥AB，∠ACE=∠BCE=

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2

ACB=45°，∠AEC=90°，∠A=∠ACE=45°，AE=CE，再根據(jù)DF=EF，∠DFE=90°，得出∠FED=45°，∠FED=

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2

∠AEC，即可得出AM=MC；                                   
（2）先在AM截取AH，使得AH=CN，連接EH，根據(jù)AE=CE，∠A=∠BCE=45°證出△AHE≌△CNE，HE=NE，∠AEH=∠CEN，∠HEM=∠AEC-∠AEH-MEC=∠AEC-∠CEN-MEC=∠AEC-∠MEF=90°-45°=45°，∠HEM=∠NEM=45°然后證出△HEM≌△NEM，HM=MN，最后根據(jù)AM=AH+HM=CN+MN即可得出答案；

解答：解：（1）∵AC=BC，E為AB中點，
∴CE⊥AB，∠ACE=∠BCE=

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2

ACB=45°，
∴∠AEC=90°，
∴∠A=∠ACE=45°，
∴AE=CE，
∵DF=EF，∠DFE=90°，
∴∠FED=45°，
∴∠FED=

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2

∠AEC，
又∵AE=CE，
∴AM=MC；                                   

（2）AM=MN+CN，理由如下：
在AM截取AH，使得AH=CN，連接EH，
由（1）知AE=CE，∠A=∠BCE=45°
∵在△AHE與△CNE中：

AH=CN ∠A=∠NCE AE=CE

，
∴△AHE≌△CNE（SAS），
∴HE=NE，∠AEH=∠CEN，
∴∠HEM=∠AEC-∠AEH-MEC=∠AEC-∠CEN-MEC=∠AEC-∠MEF=90°-45°=45°，
∴∠HEM=∠NEM=45
∵在△HEM與△NEM中：

EH=EN ∠HEM=∠MEN ME=ME

，
∴△HEM≌△NEM（SAS），
∴HM=MN，
∴AM=AH+HM=CN+MN；
即AM=MN+CN．

點評：此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，用到的知識點是全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵是做出輔助線，構(gòu)造全等三角形．