Question

【題目】已知二次函數(shù)y＝x2－2mx＋m2＋m－1（m是常數(shù)）．

（1）求證：不論m為何值，該函數(shù)的圖像的頂點(diǎn)都在函數(shù)y＝x－1的圖像上．

（2）若該函數(shù)的圖像與函數(shù)y＝x＋b的圖像有兩個(gè)交點(diǎn)，則b的取值范圍為（ ）

A．b＞0 B．b＞－1 C．b＞－ D．b＞－2

（3）該函數(shù)圖像與坐標(biāo)軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)隨m的值變化而變化，直接寫出交點(diǎn)個(gè)數(shù)及對(duì)應(yīng)的m的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）C；（3）①當(dāng)m＞1時(shí)，該函數(shù)圖像與坐標(biāo)軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)為1；②m＝1，，時(shí)，該函數(shù)圖像與坐標(biāo)軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)為2；③當(dāng)m＜，＜m＜，＜m＜1時(shí)，該函數(shù)圖像與坐標(biāo)軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)為3．

【解析】

（1）首先求出拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，然后代入直線解析式進(jìn)行判斷即可；

（2）聯(lián)立方程組，根據(jù)方程組有兩組解，利用根的判別式進(jìn)行判斷即可；

（3）分別由當(dāng)拋物線的頂點(diǎn)在直線y=x-1與x軸的交點(diǎn)上方時(shí)，拋物線與坐標(biāo)軸有一個(gè)交點(diǎn)，拋物線頂點(diǎn)在x軸上以及拋物線經(jīng)過原點(diǎn)時(shí)，拋物線與坐標(biāo)軸有2個(gè)交點(diǎn)分別列式求出m的值即可確定答案．

（1）證明：∵y＝x2－2mx＋m2＋m－1

＝(x－m)2＋m－1

∴該函數(shù)的圖像的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（m，m－1），

將x＝m代入y＝x－1得，y＝m－1，

∴不論m為何值，該函數(shù)的圖像的頂點(diǎn)都在函數(shù)y＝x－1的圖像上．

（2）聯(lián)立方程組

∴x2－2mx＋m2＋m－1=x＋b

整理，得：x2－（2m+1）x＋m2＋m－1-b=0

∵函數(shù)y＝x2－2mx＋m2＋m－1的圖像與函數(shù)y＝x＋b的圖像有兩個(gè)交點(diǎn)，

∴△=

解得，b＞－

故選：C．

（3）∵該函數(shù)的圖像的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（m，m－1），

①當(dāng)m-1＞0，即m＞1時(shí)，該函數(shù)圖像與y軸有一個(gè)交點(diǎn)，

∴當(dāng)m＞1時(shí)，該函數(shù)圖像與坐標(biāo)軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)為1；

②當(dāng)函數(shù)的圖像的頂點(diǎn)在x軸以及經(jīng)過原點(diǎn)時(shí)，

由于函數(shù)的圖像的頂點(diǎn)在函數(shù)y＝x－1的圖像上

∴當(dāng)y=0時(shí)，x=1，即m=；

當(dāng)圖象經(jīng)過原點(diǎn)時(shí)，即m2＋m－1=0，

解得，，

∴當(dāng)m＝1，，時(shí)，該函數(shù)圖像與坐標(biāo)軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)為2；

③當(dāng)m＜，＜m＜，＜m＜1時(shí)，該函數(shù)圖像與坐標(biāo)軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)為3．