【題目】如圖1,已知拋物線y=x2+2x﹣3x軸相交于A,B兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C,D為頂點(diǎn).

1)求直線AC的解析式和頂點(diǎn)D的坐標(biāo);

2)已知E0, ),點(diǎn)P是直線AC下方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn),作PRAC于點(diǎn)R,當(dāng)PR最大時(shí),有一條長(zhǎng)為的線段MN(點(diǎn)M在點(diǎn)N的左側(cè))在直線BE上移動(dòng),首尾順次連接A、MN、P構(gòu)成四邊形AMNP,請(qǐng)求出四邊形AMNP的周長(zhǎng)最小時(shí)點(diǎn)N的坐標(biāo);

3)如圖2,過(guò)點(diǎn)DDFy軸交直線AC于點(diǎn)F,連接AD,Q點(diǎn)是線段AD上一動(dòng)點(diǎn),將DFQ沿直線FQ折疊至D1FQ,是否存在點(diǎn)Q使得D1FQAFQ重疊部分的圖形是直角三角形?若存在,請(qǐng)求出AQ的長(zhǎng);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】(1)直線AC的解析式為y=x3,點(diǎn)D坐標(biāo)(﹣1,4);(2N0, );(3AQ的長(zhǎng)為1+

【解析】試題分析:(1)分別令x=0,y=0,可得A、B、C三點(diǎn)坐標(biāo),利用待定系數(shù)法設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b,轉(zhuǎn)化為解方程組即可.

2)如圖1中,設(shè)Pmm2+2m-3),由題意,當(dāng)PR最大時(shí),△ACP的面積最大,即四邊形APCO的面積最大,因?yàn)?/span>S四邊形APCO=SAOP+SPOC-SAOC=×3×-m2-2m+3+×3×-m-×3×3=-m2-m=-m+2+,所以當(dāng)m=-時(shí),四邊形APCO的面積最大,即PR最長(zhǎng),可得P--),將點(diǎn)P沿BE方向平移個(gè)單位得到G-,-),作點(diǎn)A關(guān)于直線BE的對(duì)稱點(diǎn)K,連接GKBEM,此時(shí)四邊形APNM的最長(zhǎng)最小,想辦法求出點(diǎn)M的坐標(biāo)即可解決問(wèn)題.

(3)分三種情形討論即可①如圖2中,當(dāng)FD1⊥AD時(shí),重疊部分是Rt△FKQ.②如圖3中,當(dāng)FQ⊥AD時(shí),重疊部分是Rt△FQD1,③如圖4中,當(dāng)QD1⊥AC時(shí),重疊部分是Rt△QMF.分別求出AQ即可.

試題解析:(1)對(duì)于拋物線y=x2+2x﹣3,令y=0,得x2+2x﹣3=0,解得x=﹣31,

A﹣30),B1,0),

x=0,得y=﹣3,

C0,﹣3),

∵拋物線y=x2+2x﹣3=x+12﹣4,

∴頂點(diǎn)D坐標(biāo)為(﹣1,﹣4),

設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b,則有,解得

∴直線AC的解析式為y=﹣x﹣3,點(diǎn)D坐標(biāo)(﹣1﹣4).

2)如圖1中,設(shè)Pm,m2+2m﹣3),

由題意,當(dāng)PR最大時(shí),△ACP的面積最大,即四邊形APCO的面積最大,

S四邊形APCO=SAOP+SPOCSAOC=×3×-m2-2m+3+×3×-m-×3×3=-m2-m=-m+2+,

∴當(dāng)m=時(shí),四邊形APCO的面積最大,即PR最長(zhǎng),

P(﹣,﹣),

將點(diǎn)P沿BE方向平移個(gè)單位得到G(﹣,﹣),作點(diǎn)A關(guān)于直線BE的對(duì)稱點(diǎn)K,連接GKBEM,此時(shí)四邊形APNM的最長(zhǎng)最小,

∵直線BE的解析式為y=x+,直線AK的解析式為y=2x+6

解得,

J(﹣, ),

AJ=JK,

k, ),

∴直線KG的解析式為y=x+,

解得,

M(﹣2 ),將點(diǎn)M向下平移1個(gè)單位,向右平移2個(gè)單位得到N

N0, ).

3)存在.

①如圖2中,當(dāng)FD1AD時(shí),重疊部分是RtFKQ,作QMDFM

由題意可知F(﹣1,﹣2),DF=2,AF=2,AC=3,AD=2

由△AKF∽△ACD,得,

FK=,AK=

DK=,設(shè)QK=QM=x,

RtQMD中,x2+22=x2,

x=1,

AQ=AK+KQ=1+

②如圖3中,當(dāng)FQAD時(shí),重疊部分是RtFQD1,此時(shí)AQ=

③如圖4中,當(dāng)QD1AC時(shí),重疊部分是RtQMF

設(shè)QM=QK=x,在RtAQM中,x2+(22=x2,

x=

AQ=AKQK=﹣(=

綜上所述,當(dāng)△D1FQ與△AFQ重疊部分的圖形是直角三角形時(shí),AQ的長(zhǎng)為1+

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專業(yè)

表達(dá)

93

86

73

95

81

79

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