Question

【題目】如圖，已知拋物線過(guò)點(diǎn)A（3，0），B（﹣1，0），C（0，3），連接AC，點(diǎn)M是拋物線AC段上的一點(diǎn)，且CM∥x軸．

（1）求拋物線的解析式；

（2）求∠CAM的正切值；

（3）點(diǎn)Q在拋物線上，且∠BAQ=∠CAM，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2+2x+3；（2）tan∠CAM=；（3）Q的坐標(biāo)為（﹣，）或（﹣，﹣）．

【解析】

設(shè)拋物線的解析式為y=a（x﹣3）（x+1），將點(diǎn)C的坐標(biāo)代入的a即可求得拋物線的解析式.

作MD⊥AC于D，證明是等腰直角三角形又CM∥x軸，所以∠ACM=45°，是等腰直角三角形求得DM，再根據(jù)勾股定理求得AD，即可求得結(jié)果.

設(shè)點(diǎn)Q（x，﹣x2+2x+3），根據(jù)∠BAQ=∠CAM且tan∠CAM=列出解出x的兩個(gè)解，代入Q（x，﹣x2+2x+3）即可求解.

（1）設(shè)拋物線的解析式為y=a（x﹣3）（x+1），將點(diǎn)C的坐標(biāo)代入得：﹣3a=3，解得：a=﹣1，

∴拋物線的解析式為y=﹣x2+2x+3．

（2）作MD⊥AC于D，是

∵CM∥AB，由拋物線y=﹣x2+2x+3可知M點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，3），

∵C（0，3），A（3，0）

∴AO=OC=3，

∵∠MDC=90°

∴∠OAC=∠ACO=45°，

∴∠ACM=45°，

∴CD=DM，

∵CM=2，

∴DM=CM=，

∴CD=，

∵AC2=OA2+OC2

∴AC=3．

∴AD=AC﹣CD=2，

∴tan∠CAM===；

③設(shè)點(diǎn)Q（x，﹣x2+2x+3）．

∵∠BAQ=∠CAM且tan∠CAM=，

∴=±，整理得：x+1=±，解得：x=﹣或x=﹣．

當(dāng)x=﹣時(shí)，y=，

∴Q（﹣，）．

當(dāng)x=﹣時(shí)，y=﹣．

∴Q（﹣，﹣）．

綜上所述，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（﹣，）或（﹣，﹣）．