Question

如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AM、AN分別是BC邊上的中線和∠BAC的平分線，過(guò)C作CD⊥AN于D．
（Ⅰ）求證：DM=（AB-AC）
（Ⅱ）求證：MN•MC=．

Answer 1

（1）證明：延長(zhǎng)CD交AB于E，
∵AN平分∠BAC，
∴∠BAN=∠CAN，
∵∠ACB=90°，CD⊥AN，
∴∠ADC=∠ADE=∠ACB=90°，
∴∠CAN+∠ACD=∠ACD+∠ECB=90°，
∴∠ECB=∠CAD=∠BAD，
在△AED和△ACD中
，
∴△AED≌△ACD，
∴AE=AC，ED=DC，
∵AM是邊BC上的中線，
∴DM∥BE，
DM=BE=（AB-AE），
即DM=（AB-AC）．

（2）證明：由（1）知：∠ECB=∠BAN，DM∥BE，
∴∠ECB=∠BAN=∠NDM，
∵∠NDM=∠DCM，∠DMC=∠DMC，
∴△DMN∽△CMD，
∴=，
即DM²=MN•MC，
由（1）DM=（AB-AC），
∴DM²=（AB-AC）²，
即MN•MC=（AB-AC）²．
分析：（1）根據(jù)角平分線定義和直角三角形性質(zhì)求出∠ECB=∠CAD=∠BAD，根據(jù)ASA證△AED≌△ACD，推出DM是△CBE的中線，根據(jù)三角形的中位線性質(zhì)推出DM=BE即可；
（2）求出∠NDM=∠DCM，∠DMC=∠DMC，證△DMN∽△CMD，得出比例式，推出DM²=MN•MC即可．
點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，相似三角形的性質(zhì)和判定，三角形的中位線定理，三角形的角平分線、中線、高，直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，檢查學(xué)生能否綜合運(yùn)用這些性質(zhì)進(jìn)行推理，此題綜合性較強(qiáng)，有一定難度，但題型較好．