如圖,⊙O的弦AD∥BC,過點D的切線交BC的延長線于點E,AC∥DE交BD于點H,DO及延長線分別交AC、BC于點G、F.
(1)求證:DF垂直平分AC;
(2)求證:FC=CE;
(3)若弦AD=5cm,AC=8cm,求⊙O的半徑.

【答案】分析:(1)由DE是⊙O的切線,且DF過圓心O,可得DF⊥DE,又由AC∥DE,則DF⊥AC,進而可知DF垂直平分AC;
(2)可先證△AGD≌△CGF,四邊形ACED是平行四邊形,即可證明FC=CE;
(3)連接AO可先求得AG=4cm,在Rt△AGD中,由勾股定理得GD=3cm;設圓的半徑為r,則AO=r,OG=r-3,在Rt△AOG中,由勾股定理可求得r=
解答:(1)證明:∵DE是⊙O的切線,且DF過圓心O,
∴DF是⊙O的直徑所在的直線,
∴DF⊥DE,
又∵AC∥DE,
∴DF⊥AC,
∴G為AC的中點,即DF平分AC,則DF垂直平分AC;(2分)

(2)證明:由(1)知:AG=GC,
又∵AD∥BC,
∴∠DAG=∠FCG;
又∵∠AGD=∠CGF,
∴△AGD≌△CGF(ASA),(4分)
∴AD=FC;
∵AD∥BC且AC∥DE,
∴四邊形ACED是平行四邊形,
∴AD=CE,
∴FC=CE;(5分)

(3)解:連接AO,
∵AG=GC,AC=8cm,
∴AG=4cm;
在Rt△AGD中,由勾股定理得GD2=AD2-AG2=52-42=9,
∴GD=3;(6分)
設圓的半徑為r,則AO=r,OG=r-3,
在Rt△AOG中,由勾股定理得AO2=OG2+AG2,
有:r2=(r-3)2+42
解得r=,(8分)
∴⊙O的半徑為cm.
點評:本題考查了圓的切線性質(zhì),及解直角三角形的知識.運用切線的性質(zhì)來進行計算或論證,常通過作輔助線連接圓心和切點,利用垂直構造直角三角形解決有關問題.
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如圖,⊙O的弦AD∥BC,過點D的切線交BC的延長線于點E,AC∥DE交BD于點H,DO及精英家教網(wǎng)延長線分別交AC、BC于點G、F.
(1)求證:DF垂直平分AC;
(2)求證:FC=CE;
(3)若弦AD=5cm,AC=8cm,求⊙O的半徑.

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精英家教網(wǎng)已知:如圖,⊙O的弦AD、BC互相垂直,垂足為E,∠BAD=∠α,∠CAD=∠β,且siaα=
3
5
,cosβ=
1
3
,AC=2.
求(1)EC的長;
(2)AD的長.

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如圖,⊙O的弦AD∥BC,過點D的切線交BC的延長線于點E,AC∥DE交BD于點H,DO及延長線分別交AC、BC于點G、F.
(1)求證:DF垂直平分AC;
(2)求證:FC=CE;
(3)若弦AD=5㎝,AC=8㎝,求⊙O的半徑.

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已知:如圖,⊙O的弦AD、BC互相垂直,垂足為E,∠BAD=∠α,∠CAD=∠β,且siaα=數(shù)學公式,cosβ=數(shù)學公式,AC=2.
求(1)EC的長;
(2)AD的長.

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如圖,⊙O的弦AD∥BC,過點D的切線交BC的延長線于點E,AC∥DE交BD于點H,DO及延長線分別交AC、BC于點G、F.
(1)求證:DF垂直平分AC;
(2)求證:FC=CE;
(3)若弦AD=5cm,AC=8cm,求⊙O的半徑.

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