Question

【題目】如圖⑴，在△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，BC=6cm． 點(diǎn)M由點(diǎn)B出發(fā)沿BA方向向點(diǎn)A勻速運(yùn)動，同時(shí)點(diǎn)N由點(diǎn)A出發(fā)沿AC方向向點(diǎn)C勻速運(yùn)動，它們的速度均為2cm/s ．連接MN，設(shè)運(yùn)動時(shí)間為t(s)﹙0＜t＜4﹚，解答下列問題：

⑴設(shè)△AMN的面積為S，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出S的最大值；

⑵如圖⑵，連接MC，將△MNC沿NC翻折，得到四邊形MNPC,當(dāng)四邊形MNPC為菱形時(shí)，求t的值；

⑶當(dāng)t的值為 ，△AMN是等腰三角形．

Answer 1

【答案】（1）， ；（2）t=；（3）或或

【解析】

（1）如圖過點(diǎn)M作MD⊥AC于點(diǎn)D，利用相似三角形的性質(zhì)求出MD即可解決問題；

（2）連接PM,交AC于D，，當(dāng)四邊形MNPC為菱形時(shí)，ND=，即可用t表示AD，再結(jié)合第一問的相似可以用另外一個(gè)含t式子表示AD，列方程計(jì)算即可；

（3）分別用t表示出AP、AQ、PQ，再分三種情況討論：①當(dāng)AQ＝AP②當(dāng)PQ＝AQ③當(dāng)PQ＝AP，再分別計(jì)算即可．

解：⑴過點(diǎn)M作MD⊥AC于點(diǎn)D．

∵,；

∴AB=10cm．BM=AN=2t

∴AM=10-2t．

∵△ADM∽△ACB

∴即

∴

∴

又

∴S的最大值是；

⑵連接PM,交AC于D，

∵四邊形MNPC是菱形，則MP⊥NC,ND=CD

∵CN=8-2t

∴ND=4-t

∴AD=2t+4-t=t+4

由⑴知AD=

∴=t+4

∴t=；

（3）由（1）知，PE＝﹣t+3，與（2）同理得：QE＝AE﹣AQ＝﹣t+4

∴PQ＝＝＝，

在△APQ中，

①當(dāng)AQ＝AP，即t＝5﹣t時(shí)，解得：t1＝；

②當(dāng)PQ＝AQ，即＝t時(shí)，解得：t2＝，t3＝5；

③當(dāng)PQ＝AP，即＝5﹣t時(shí)，解得：t4＝0，t5＝；

∵0＜t＜4，

∴t3＝5，t4＝0不合題意，舍去，

∴當(dāng)t為s或s或s時(shí)，△APQ是等腰三角形．