Question

如圖，已知拋物線與x軸交于A（-1，0）、B（4，0）兩點，與y軸交于點C（0，3）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）求直線BC的函數(shù)解析式；
（3）在拋物線上，是否存在一點P，使△PAB的面積等于△ABC的面積？若存在，求出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）設(shè)拋物線的解析式為y=ax²+bx+c，代入三點即求得方程式；
（2）設(shè)直線BC的函數(shù)解析式為y=kx+b，代入BC兩點而求得；
（3）由△ABC的底邊AB上的高為3，設(shè)△PAB的高為h，則|h|=3，則點P的縱坐標(biāo)為3或-3，分兩種情況求得．

解答：解：（1）設(shè)拋物線的解析式為y=ax²+bx+c，
∵拋物線與y軸交于點C的坐標(biāo)（0，3），
∴y=ax²+bx+3，
又∵拋物線與x軸交于點A（-1，0）、B（4，0），
∴

0=a-b+3 0=16a+4b+3

解得

a=- 3 4 b= 9 4

，
∴拋物線的解析式為y=-

3

4

x2+

9

4

x+3；

（2）設(shè)直線BC的函數(shù)解析式為y=kx+b，
∴

0=4k+b 3=b

，
解得

k=- 3 4 b=3

，
所以直線BC的函數(shù)解析式為y=-

3

4

x+3；

（3）存在一點P，使△PAB的面積等于△ABC的面積，
∵△ABC的底邊AB上的高為3，
設(shè)△PAB的高為h，則|h|=3，則點P的縱坐標(biāo)為3或-3，
∴當(dāng)-

3

4

x2+

9

4

x+3=3時，得x1=0，x2=3，
∴點P的坐標(biāo)為（0，3），（3，3），而點（0，3）與C點重合，故舍去．當(dāng)-

3

4

x2+

9

4

x+3=-3時，得x1=

3+ 41

2

，x2=

3- 41

2

，
∴點P的坐標(biāo)為(

3+ 41

2

，-3)，(

3- 41

2

，-3)，
∴點P的坐標(biāo)為：P₁（3，3），P₂(

3+ 41

2

，-3)，P₃(

3- 41

2

，-3)．

點評：本題考查了二次函數(shù)的綜合運(yùn)用，包括了三點確定二次函數(shù)式，兩點確定一次函數(shù)解析式，一次函數(shù)與二次函數(shù)結(jié)合的綜合考查，第三問問的很好．