【題目】綜合與實(shí)踐:
問題情境:在一次綜合實(shí)踐活動課上,同學(xué)們以菱形為對象,研究菱形旋轉(zhuǎn)中的問題:已知,在菱形中, 為對角線, ,,將菱形繞頂點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn),旋轉(zhuǎn)角為(單位),旋轉(zhuǎn)后的菱形為,在旋轉(zhuǎn)探究活動中提出下列問題,請你幫他們解決.
觀察證明:
(1)如圖1,若旋轉(zhuǎn)角,與相交于點(diǎn),與相交于點(diǎn),請說明線段與的數(shù)量關(guān)系;
操作計(jì)算:
(2)如圖2,連接,菱形旋轉(zhuǎn)的過程中,當(dāng)與互相垂直時(shí), 的長為 ;
(3)如圖3,若旋轉(zhuǎn)角,分別連接,,過點(diǎn)分別作,,連接,菱形旋轉(zhuǎn)的過程中,發(fā)現(xiàn)在中存在長度不變的線段,請求出長度;
操作探究:
(4)如圖4,在(3)的條件下,請判斷以,,三條線段長度為邊的三角形是什么特殊三角形,并說明理由.
【答案】(1),理由詳見解析;(2);(3)2;(4)以,,三條線段為邊的三角形是直角三角形,理由詳見解析.
【解析】
(1)根據(jù)菱形的性質(zhì)以及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),證得,根(證得≌,可以得到結(jié)論;
(2)根據(jù)菱形的性質(zhì)以及條件與互相垂直,證明、在同一直線上,利用銳角三角函數(shù)求得對角線的長,繼而求得結(jié)論;
(3)利用等腰三角形三線合一的性質(zhì),是的中位線,從而證明;
(4) 以為邊向外作等邊三角形,利用等邊三角形的性質(zhì)以及證得≌,得到,把,,三條線段歸結(jié)到一個(gè)三角形中,易證得是直角三角形,從而得到結(jié)論.
(1) ,理由如下:
∵四邊形是菱形
∴
∴
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得: ,,,
∴
∴
即
在和中
∴≌()
∴
(2) 菱形中, , ,
∴平分 (等腰三角形三線合一),
∴,
∵,
∴
∴、在同一直線上,
如圖,菱形中, 為對角線, ,,
∴,
∴
∴
∴
故答案是:
(3)如圖,連接,由題可得:
∵
∴(等腰三角形三線合一),同理
∴是的中位線
∴
∵四邊形是菱形
∴
又∵ ,是等邊三角形
∴
∴
(4)以,,三條線段為邊的三角形是直角三角形,理由如下:
如圖,以為邊向外作等邊三角形,連接,
∵四邊形是菱形,
∴與是等邊三角形,
由(3)可知: 與都是等腰三角形
∴
∵與是等邊三角形
∴,,
∴
∴
在和中
∴≌()
∴,
∴
∴是直角三角形
即以,,三條線段長度為邊的三角形是直角三角形.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在半圓中,點(diǎn)是圓心,是直徑,點(diǎn)是的中點(diǎn),過點(diǎn)作的垂線,交的延長線于點(diǎn)。
(1)求證:是半圓的切線;
(2)若,求的長。
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】小明利用函數(shù)與不等式的關(guān)系,對形如 (為正整數(shù))的不等式的解法進(jìn)行了探究.
(1)下面是小明的探究過程,請補(bǔ)充完整:
①對于不等式,觀察函數(shù)的圖象可以得到如下表格:
的范圍 | ||
的符號 |
由表格可知不等式的解集為.
②對于不等式,觀察函數(shù)的圖象可得到如下表格:
的范圍 | |||
的符號 |
由表格可知不等式的解集為 .
③對于不等式,請根據(jù)已描出的點(diǎn)畫出函數(shù)的圖象;
觀察函數(shù)的圖象,
補(bǔ)全下面的表格:
的范圍 | ||||
的符號 |
由表格可知不等式的解集為 .
小明將上述探究過程總結(jié)如下:對于解形如 (為正整數(shù))的不等式,先將按從大到小的順序排列,再劃分的范圍,然后通過列表格的辦法,可以發(fā)現(xiàn)表格中的符號呈現(xiàn)一定的規(guī)律,利用這個(gè)規(guī)律可以求這樣的不等式的解集.
(2)請你參考小明的方法,解決下列問題:
①不等式的解集為 .
②不等式的解集為 .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知一次函數(shù)y1=x+m的圖象與x軸y軸分別交于點(diǎn)A、B,與反比例函數(shù)y2=(x<0)的圖象分別交于點(diǎn)C、D,且C點(diǎn)的坐標(biāo)為(﹣1,2).
(1)分別求出一次函數(shù)及反比例函數(shù)的關(guān)系式;
(2)求出點(diǎn)D的坐標(biāo)并直接寫出y1>y2的解集.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】綜合與探究:
已知二次函數(shù)y=﹣x2+x+2的圖象與x軸交于A,B兩點(diǎn)(點(diǎn)B在點(diǎn)A的左側(cè)),與y軸交于點(diǎn)C.
(1)求點(diǎn)A,B,C的坐標(biāo);
(2)求證:△ABC為直角三角形;
(3)如圖,動點(diǎn)E,F同時(shí)從點(diǎn)A出發(fā),其中點(diǎn)E以每秒2個(gè)單位長度的速度沿AB邊向終點(diǎn)B運(yùn)動,點(diǎn)F以每秒個(gè)單位長度的速度沿射線AC方向運(yùn)動.當(dāng)點(diǎn)F停止運(yùn)動時(shí),點(diǎn)E隨之停止運(yùn)動.設(shè)運(yùn)動時(shí)間為t秒,連結(jié)EF,將△AEF沿EF翻折,使點(diǎn)A落在點(diǎn)D處,得到△DEF.當(dāng)點(diǎn)F在AC上時(shí),是否存在某一時(shí)刻t,使得△DCO≌△BCO?(點(diǎn)D不與點(diǎn)B重合)若存在,求出t的值;若不存在,請說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為,,(每個(gè)方格的邊長均為1個(gè)單位長度).
(1)將平移,使點(diǎn)移動到點(diǎn),請畫出;
(2)作出關(guān)于點(diǎn)成中心對稱的,并直接寫出,,的坐標(biāo);
(3)與是否成中心對稱?若是,請寫出對稱中心的坐標(biāo);若不是,請說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,AB為⊙O的直徑,C為⊙O上一點(diǎn),CD⊥AB于點(diǎn)D.P為AB延長線上一點(diǎn),∠PCD=2∠BAC.
(1)求證:CP為⊙O的切線;
(2)若BP=1,CP=,求 ⊙O的半徑;
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)A(﹣4,﹣2)和B(a,4).
(1)求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的表達(dá)式及點(diǎn)B的坐標(biāo);
(2)根據(jù)圖象回答,當(dāng)x在什么范圍內(nèi)時(shí),一次函數(shù)的值大于反比例函數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】拋物線y=ax2+bx+c的頂點(diǎn)為D(﹣1,2),與x軸的一個(gè)交點(diǎn)A在點(diǎn)(﹣3,0)和(﹣2,0)之間,其部分圖象如圖,則以下結(jié)論:①b2﹣4ac<0;②當(dāng)x>﹣1時(shí),y隨x增大而減;③a+b+c<0;④若方程ax2+bx+c﹣m=0沒有實(shí)數(shù)根,則m>2; ⑤3a+c<0.其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是( 。
A. 2個(gè) B. 3個(gè) C. 4個(gè) D. 5個(gè)
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