Question

如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，BE平分∠ABC交AC于點E，DE是斜邊AB的垂直平分線，且DE=1cm，則AC長為（ ）

A．2.5cm
B．3cm
C．3.5cm
D．4cm

Answer 1

【答案】分析：由BE為角平分線，且ED垂直于AB，EC垂直于BC，利用角平分線性質(zhì)得到ED=EC，再由BE為公共邊，利用HL得出直角三角形BDE與直角三角形BCE全等，由全等三角形的對應邊相等得到BD=BC，又DE垂直平分AB，得到AD=BD，且AE=BE，設AE=BE=xcm，則由AE+EC表示出AC，在直角三角形ADE中，利用勾股定理表示出AD，即為BC，由AB=2AD表示出AB，在直角三角形ABC中，利用勾股定理列出關于x的方程，求出方程的解得到x的值，即可求出AC的長．
解答：解：∵BE平分∠ABC，ED⊥BA，EC⊥BC，
∴ED=EC=1cm，又BE=BE，
∴Rt△BDE≌Rt△BCE（HL），
∴BD=BC，
又∵DE垂直平分AB，
∴AE=BE，AD=BD，
設AE=BE=xcm，則有AC=（x+1）cm，
在Rt△ADE中，根據(jù)勾股定理得：AD²+DE²=AE²，
∴AD=BC=cm，AB=2AD=2cm，
在Rt△ABC中，根據(jù)勾股定理得：AB²=AC²+BC²，
即4（x²-1）=（x+1）²+x²-1，
整理得：（x-2）（x+1）=0，
解得：x=2或x=-1（舍去），
故AC=2+1=3cm．
故選B．
點評：此題考查了角平分線定理，線段垂直平分線定理，以及勾股定理，利用了轉(zhuǎn)化的思想，熟練掌握定理是解本題的關鍵．