Question

（2012•中山一模）如圖，已知等腰梯形ABCD的邊BC在x軸上，點(diǎn)A（0，3）在y軸的正半軸上，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2，3），且AB=

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．
（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）求經(jīng)過(guò)A、B、D三點(diǎn)的拋物線的解析式；
（3）在（2）中所求得的拋物線上是否存在點(diǎn)P，使得S_△PBC=

2

3

S_梯形ABCD？若存在，請(qǐng)求出所有滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）在直角△AOB中，已知OA，AB，根據(jù)勾股定理求出BO，即可得到點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）把A、B、D的坐標(biāo)代入拋物線的解析式，運(yùn)用待定系數(shù)法即可求解；
（3）過(guò)點(diǎn)D作DE⊥x軸于點(diǎn)E，得到矩形DEOA，根據(jù)矩形的性質(zhì)得出DE=3，再求出BC，根據(jù)梯形面積公式求出梯形ABCD的面積，則△PBC的面積=

2

3

S_梯形ABCD，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），則△PBC的BC邊上的高為|y|，求出P點(diǎn)的縱坐標(biāo)，代入拋物線的解析式求出P點(diǎn)的橫坐標(biāo)即可．

解答：解：（1）在Rt△ABO中，
∵∠AOB=90°，AB=

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，OA=3，
∴BO=

AB2-OA2

=1，
∵點(diǎn)B在x軸的負(fù)半軸上，
∴B（-1，0），
故點(diǎn)B的坐標(biāo)是（-1，0）；

（2）設(shè)經(jīng)過(guò)A、B、D三點(diǎn)的拋物線的解析式為y=ax²+bx+c，
代入得：

c=3 a-b+c=0 4a+2b+c=3

，
解這個(gè)方程組得：

a=-1 b=2 c=3

，
則y=-x²+2x+3．
故經(jīng)過(guò)A、B、D三點(diǎn)的拋物線的解析式是y=-x²+2x+3；

（3）在（2）中所求得的拋物線上存在點(diǎn)P，能夠使得S_△PBC=

2

3

S_梯形ABCD．理由如下：
∵A（0，3），D（2，3），
∴AD=2．
過(guò)點(diǎn)D作DE⊥x軸于點(diǎn)E，則四邊形DEOA是矩形，有DE=OA=3，AD=OE=2．
∵四邊形ABCD是等腰梯形，
∴CD=AB=

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，CE=BO=1，
∴OC=2+1=3，
∴C（3，0），
∵B（-1，0），
∴BC=4，
∴梯形ABCD的面積是

1

2

×（2+4）×3=9，
∵S_△PBC=

2

3

S_梯形ABCD，
∴S_△PBC=6．
設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），則△PBC的BC邊上的高為|y|，

1

2

×4×|y|=6，
∴y=±3，
∴P點(diǎn)的坐標(biāo)是P₁（x，3），P₂（x，-3），
代入拋物線得：-x²+2x+3=3，
解得x₁=0，x₂=2，
∴點(diǎn)P₁的坐標(biāo)為（0，3），（2，3）；
同理可求得：點(diǎn)P₂的坐標(biāo)為（1+

7

，-3），（1-

7

，-3）．
故在（2）中所求得的拋物線上存在點(diǎn)P（0，3），（2，3），（1+

7

，-3），（1-

7

，-3），使得S_△PBC=

2

3

S_梯形ABCD．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查對(duì)二次函數(shù)解析式的確定，三角形的面積，等腰梯形的性質(zhì)，解一元二次方程等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，綜合運(yùn)用這些性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算是解此題的關(guān)鍵．