Question

【題目】在中，若存在一個(gè)內(nèi)角角度，是另外一個(gè)內(nèi)角角度的倍（為大于1的正整數(shù)），則稱為倍角三角形．例如，在中，，，，可知，所以為3倍角三角形．

（1）在中，，，則為________倍角三角形；

（2）若是3倍角三角形，且其中一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)是另外一個(gè)內(nèi)角的余角的度數(shù)的，求的最小內(nèi)角．

（3）若是2倍角三角形，且，請直接寫出的最小內(nèi)角的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）4；（2）的最小內(nèi)角為15°或9°或；（3）30°＜x＜45°．

【解析】

(1)根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠C的度數(shù)，再根據(jù)倍角三角形的定義判斷即可得到答案；

(2) 根據(jù)△DEF是3倍角三角形，必定有一個(gè)內(nèi)角是另一個(gè)內(nèi)角的3倍，然后根據(jù)這兩個(gè)角之間的關(guān)系，分情況進(jìn)行解答即可得到答案；

(3) 可設(shè)未知數(shù)表示2倍角三角形的各個(gè)內(nèi)角，然后列不等式組確定最小內(nèi)角的取值范圍．

解：(1)∵在中，，，

∴∠C=180°-55°-25°=100°，

∴∠C=4∠B，

故為4倍角三角形；

(2) 設(shè)其中一個(gè)內(nèi)角為x°，3倍角為3x°，則另外一個(gè)內(nèi)角為：
①當(dāng)小的內(nèi)角的度數(shù)是3倍內(nèi)角的余角的度數(shù)的時(shí)，

即：x=（90°-3x），

解得：x=15°，

②3倍內(nèi)角的度數(shù)是小內(nèi)角的余角的度數(shù)的時(shí)，

即：3x=（90°-x），解得：x=9°，

③當(dāng)時(shí)，

解得：，

此時(shí)：=，因此為最小內(nèi)角，

因此，△DEF的最小內(nèi)角是9°或15°或．

(3) 設(shè)最小內(nèi)角為x，則2倍內(nèi)角為2x，第三個(gè)內(nèi)角為（180°-3x），由題意得：
2x＜90°且180°-3x＜90°，
∴30°＜x＜45°，
答：△MNP的最小內(nèi)角的取值范圍是30°＜x＜45°．