Question

如圖1，過點(diǎn)A（0，4）的圓的圓心坐標(biāo)為C（2，0），B是第一象限圓弧上的一點(diǎn)，且BC⊥AC，拋物線經(jīng)過C、B兩點(diǎn)，與x軸的另一交點(diǎn)為D。

（1）點(diǎn)B的坐標(biāo)為（       ，       ），拋物線的表達(dá)式為       .

（2）如圖2，求證：BD//AC；

（3）如圖3，點(diǎn)Q為線段BC上一點(diǎn)，且AQ=5，直線AQ交⊙C于點(diǎn)P，求AP的長(zhǎng)。

 

Answer 1

【答案】

（1）（6，2）（2）見解析（3）8

【解析】解：（1）（6，2）；。

（2）證明：令，即，解得x=2或x=7。

∴D（7，0）。

∴BC=AC=，BD=，CD=5�！�。

∴∠CBD=90⁰，即BD⊥BC。

又∵ AC⊥BC，∴BD//AC。

（3）連接AB，BP，

∵AC⊥BC，BC=AC=，

∴∠ACB=90⁰，∠ABC=45⁰，∠APB=∠ACB=45⁰，AB=。

∴∠ABQ=∠APB。

又∵∠BAQ=∠PAB，∴△ABQ∽△APB。

∴，即，解得AP=8。

（1）過點(diǎn)B作BE⊥x軸于點(diǎn)E，易證△AOC≌△CEB（AAS），則

CE=AO=4， BE=CO=2，OE=6，∴B（6，2）。

將B（6，2），C（2，0）代入，得

，解得。

∴拋物線的表達(dá)式為。

（2）應(yīng)用勾股定理求出BC，BD和CD的長(zhǎng)，根據(jù)勾股定理逆定理得∠CBD=90⁰，即BD⊥BC，從而由AC⊥BC，得到BD//AC。

（3）連接AB，BP，通過證明△ABQ∽△APB得求解。

別解：

①過點(diǎn)C作CH⊥AQ于點(diǎn)H，由垂徑定理和射影定理求解。

②由勾股定理求得延長(zhǎng)BC交⊙O于點(diǎn)R，由相交弦定理求解。