Question

如圖，在等腰梯形ABCE中，BC∥AE且AB=BC，以點(diǎn)E為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，若將梯形ABCD沿AC折疊，使點(diǎn)B恰好落在x軸上點(diǎn)D位置，過C、D兩點(diǎn)的直線與y軸交于點(diǎn)F．
（1）試判斷四邊形ABCD是怎樣的特殊四邊形，并說明你的理由；
（2）如果∠BAE=60°，AB=2cm，那么在y軸上是否存在一點(diǎn)P，使以P、D、F為頂點(diǎn)的三角形構(gòu)成等腰三角形，若存在，請求出所有可能的P點(diǎn)坐標(biāo)，若不存在，請說明理由；
（3）在（2）的條件下，若將△EDF沿x軸正方向以1cm/s的速度平移到點(diǎn)E與點(diǎn)A重合時(shí)為止，設(shè)△EDF在平移過程中與△ECA重合部分的面積為S，平移的時(shí)間為x秒，試求出S與x之間的函數(shù)關(guān)系式及自變量范圍，并求出何時(shí)S有最大值，最大值是多少？

Answer 1

【答案】分析：（1）由已知易得AB=BC=DA=AB，所以四邊形ABCD為菱形．
（2）若△PDF等腰三角形DF可能為腰，分別討論找出相關(guān)系并求出坐標(biāo)進(jìn)行判斷．
（3）由（2）可得，AE=DE+AD=4cm，則DE=2，AD=2，設(shè)△DEF平移到△D′E′F′，則EE′=x，E′M=x，AD'=AE-D′E′-EE'=4-2-x=2-x，可得S_△EME′=x²，S_△AD′N=（2-x）²，則S=S_△ADE-S_△EME′-S_△AD′N，代入整理可得S與x的解析式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求得最大值即可．
解答：解：（1）四邊形ABCD為菱形．
理由如下：因?yàn)辄c(diǎn)B和點(diǎn)D關(guān)于直線AC對稱所以AB=AD，BC=DC．由AB=BC得AB=BC=DA=AB，所以四邊形ABCD為菱形．

（2）因?yàn)樗倪呅蜛BCD為菱形，所以DF∥AB，所以∠CDE=∠CED=60°，所以△CDE為等邊三角形，所以DE=CD=AB=2cm．在Rt△DEF中，DF=DEcos60°=2cos60°=4cm．
①如果以F為頂點(diǎn)，即FP=FD時(shí)，P點(diǎn)坐標(biāo)為（0，4+2），（0，2-4）；
②如果以P為頂點(diǎn)，即PF=PD時(shí)，P點(diǎn)坐標(biāo)為（0，）；
③如果以D為頂點(diǎn)，即DF=DP時(shí)，P點(diǎn)坐標(biāo)為（0，-2）．
綜上所述，P點(diǎn)坐標(biāo)為（0，4+2），（0，2-4），（0，），（0，-2）．

（3）

由（2）可得，AE=DE+AD=4cm，則DE=2，AD=2
①設(shè)△DEF平移到△D′E′F′，則EE′=x，E′A=4-x，AD'=AE′-E′D′=4-x-2=2-x，
可得S_△A′ME′=（4-x）²，S_△AD′N=（2-x）²，
則S=S_△A′ME′-S_△AD′N=（4-x）²-（2-x）²（0≤x≤1）；

②設(shè)△DEF平移到△D′E′F′，則EE′=x，E′M=x，AD'=AE-D'E′-EE′=4-2-x=2-x
可得S_△EME′=x²
S_△AD′N=（2-x）²，
則S=S_△AME-S_△EME′-S_△AD′N=x²-（2-x）²=-（1≤x≤2）
當(dāng)x=-=，則當(dāng)x=1時(shí)，S有最大值是：（2-1）²=；
③設(shè)△DEF平移到△D′E′F′，則EE′=x，AE′=4-x，
可得S=S_△A′ME′=（4-x）²（2≤x≤4）．

點(diǎn)評：本題考查梯形，菱形、直角三角形、二次函數(shù)的相關(guān)知識的理解及運(yùn)用，綜合性強(qiáng)，做題時(shí)要注意知識點(diǎn)之間的聯(lián)系．