【題目】如圖,點O是線段AH上一點,AH=3,以點O為圓心,OA的長為半徑作⊙O,過點H作AH的垂線交⊙O于C,N兩點,點B在線段CN的延長線上,連接AB交⊙O于點M,以AB,BC為邊作ABCD.
(1)求證:AD是⊙O的切線;
(2)若OHAH,求四邊形AHCD與⊙O重疊部分的面積;
(3)若NHAH,BN,連接MN,求OH和MN的長.
【答案】(1)證明見解析;(2);(3)OH,MN.
【解析】
(1)根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可知AD∥BC,證明OA⊥AD,又因為OA為半徑,即可證明結(jié)論;
(2)利用銳角三角函數(shù)先求出∠OCH=30°,再求出扇形OAC的面積,最后求出△OHC的面積,兩部分面積相加即為重疊部分面積;
(3)設⊙O半徑OA=r=OC,OH=3-r,在Rt△OHC中,利用勾股定理求出半徑r=,推出OH=,再在Rt△ABH和Rt△ACH中利用勾股定理分別求出AB,AC的長,最后證△BMN∽△BCA,利用相似三角形對應邊的比相等即可求出MN的長.
(1)證明:∵四邊形ABCD是平行四邊形,
∴AD∥BC,
∵∠AHC=90°,
∴∠HAD=90°,即OA⊥AD,
又∵OA為半徑,
∴AD是⊙O的切線;
(2)如圖,連接OC,
∵OHOA,AH=3,
∴OH=1,OA=2,
∵在Rt△OHC中,∠OHC=90°,OHOC,
∴∠OCH=30°,
∴∠AOC=∠OHC+∠OCH=120°,
∴S扇形OAC,
∵CH,
∴S△OHC1,
∴四邊形ABCD與⊙O重疊部分的面積=S扇形OAC+S△OHC;
(3)設⊙O半徑OA=r=OC,OH=3﹣r,
在Rt△OHC中,OH2+HC2=OC2,
∴(3﹣r)2+12=r2,
∴r,則OH,
在Rt△ABH中,AH=3,BH1,則AB,
在Rt△ACH中,AH=3,CH=NH=1,得AC,
在△BMN和△BCA中,
∠B=∠B,∠BMN=∠BCA,
∴△BMN∽△BCA,
∴即,
∴MN,
∴OH,MN.
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】綜合與探究:
如圖1,的直角頂點在坐標原點,點在軸正半軸上,點在軸正半軸上,,,將線段繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到線段,過點作軸于點,拋物線經(jīng)過點,與軸交于點,直線與軸交于點.
(1)求點的坐標及拋物線的表達式;
(2)如圖2,已知點是線段上的一個動點,過點作的垂線交拋物線于點(點在第一象限),設點的橫坐標為.
①點的縱坐標用含的代數(shù)式表示為________;
②如圖3,當直線經(jīng)過點時,求點的坐標,判斷四邊形的形狀并證明結(jié)論;
③在②的前提下,連接,點是坐標平面內(nèi)的點,若以,,為頂點的三角形與全等,請直接寫出點的坐標.
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【題目】已知, , 與成正比例, 與成反比例,并且當時, ,當時, .
()求關于的函數(shù)關系式.
()當時,求的值.
【答案】();(), .
【解析】分析:(1)首先根據(jù)與x成正比例, 與x成反比例,且當x=1時,y=4;當x=2時,y=5,求出 和與x的關系式,進而求出y與x的關系式,(2)根據(jù)(1)問求出的y與x之間的關系式,令y=0,即可求出x的值.
本題解析:
()設, ,
則,
∵當時, ,當時, ,
∴
解得, ,
∴關于的函數(shù)關系式為.
()把代入得,
,
解得: , .
點睛:本題考查了用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式:(1)設出含有待定系數(shù)的反比例函數(shù)解析式y(tǒng)=kx(k為常數(shù),k≠0);(2)把已知條件(自變量與對應值)代入解析式,得到待定系數(shù)的方程;(3)解方程,求出待定系數(shù);(4)寫出解析式.
【題型】解答題
【結(jié)束】
24
【題目】如圖,菱形的對角線、相交于點,過點作且,連接、,連接交于點.
(1)求證:;
(2)若菱形的邊長為2, .求的長.
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【題目】農(nóng)夫?qū)⑻O果樹種在正方形的果園內(nèi),為了保護蘋果樹不受風吹,他在蘋果樹的周圍種上針葉樹.在下圖里,你可以看到農(nóng)夫所種植蘋果樹的列數(shù)(n)和蘋果樹數(shù)量及針葉樹數(shù)量的規(guī)律:當n為某一個數(shù)值時,蘋果樹數(shù)量會等于針葉樹數(shù)量,則n為___________
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【題目】將矩形ABCD按如圖所示的方式折疊,BE,EG,FG為折痕,若頂點A,C,D都落在點O處,且點B,O,G在同一條直線上,同時點E,O,F在另一條直線上,則的值為( )
A.B.C.D.
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【題目】某專賣店有A、B兩種商品,已知在打折前,買60件A商品和30件B商品用了1080元,買50件A商品和10件B商品用了840元.A、B兩種商品打相同折以后,某人買500件A商品和450件B商品一共比不打折少花1960元,請問A、B兩種商品打折前各多少錢?打了多少折?
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【題目】如圖,一次函數(shù)y=ax+b的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于C,D兩點,與x,y軸交于B,A兩點,且tan∠ABO=,OB=4,OE=2.
(1)求一次函數(shù)的解析式和反比例函數(shù)的解析式;
(2)求△OCD的面積;
(3)根據(jù)圖象直接寫出一次函數(shù)的值大于反比例函數(shù)的值時,自變量x的取值范圍.
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【題目】(本題滿分8分)如圖,⊙O的直徑AC與弦BD相交于點F,點E是DB延長線上一點,
∠EAB=∠ADB.
(1)求證:EA是⊙O的切線;
(2)已知點B是EF的中點,求證:以A、B、C為頂點的三角形與△AEF相似;
(3)在(2)的條件下,已知AF=4,CF=2,求AE的長.
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