【題目】綜合與探究:
如圖1,的直角頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)在軸正半軸上,點(diǎn)在軸正半軸上,,,將線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段,過點(diǎn)作軸于點(diǎn),拋物線經(jīng)過點(diǎn),與軸交于點(diǎn),直線與軸交于點(diǎn).
(1)求點(diǎn)的坐標(biāo)及拋物線的表達(dá)式;
(2)如圖2,已知點(diǎn)是線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)作的垂線交拋物線于點(diǎn)(點(diǎn)在第一象限),設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為.
①點(diǎn)的縱坐標(biāo)用含的代數(shù)式表示為________;
②如圖3,當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)時(shí),求點(diǎn)的坐標(biāo),判斷四邊形的形狀并證明結(jié)論;
③在②的前提下,連接,點(diǎn)是坐標(biāo)平面內(nèi)的點(diǎn),若以,,為頂點(diǎn)的三角形與全等,請(qǐng)直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo).
【答案】(1)點(diǎn)的坐標(biāo)為,;(2)①;②點(diǎn)F的坐標(biāo)為,四邊形為正方形,證明見解析;③點(diǎn)的坐標(biāo)為或或.
【解析】
(1)根據(jù)已知條件與旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)證明,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出點(diǎn)C的坐標(biāo),結(jié)合點(diǎn)E的坐標(biāo),根據(jù)待定系數(shù)法求出拋物線的表達(dá)式;
(2)①設(shè)直線AC的表達(dá)式為,由點(diǎn)A、C的坐標(biāo)求出直線AC的表達(dá)式,進(jìn)而得解;
②過點(diǎn)作軸于點(diǎn),過點(diǎn)作軸,垂足為點(diǎn),的延長(zhǎng)線與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn),根據(jù)等腰三角形三線合一得出,結(jié)合①由平行線分線段成比例得出點(diǎn)G的坐標(biāo),根據(jù)待定系數(shù)法求出直線的表達(dá)式,結(jié)合拋物線的表達(dá)式求出點(diǎn)F;利用勾股定理求出,結(jié)合可得出結(jié)論;
③根據(jù)直線AC的表達(dá)式求出點(diǎn)H的坐標(biāo),設(shè)點(diǎn)N坐標(biāo)為,根據(jù)勾股定理分別求出,,,,然后分兩種情況考慮:若△FHC≌△FHN,則FN=FC,NH=CH,若△FHC≌△HFN,則FN=CH,NH=FC,分別列式求解即可.
解:(1),,
點(diǎn)的坐標(biāo)為,點(diǎn)的坐標(biāo)為,
線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段,
,,
,
在中,,
,
軸于點(diǎn),
,
.
,
,
,,
,
點(diǎn)的坐標(biāo)為,
∵拋物線的圖象經(jīng)過點(diǎn),與軸交于點(diǎn),
,
解得,,
∴拋物線的表達(dá)式為;
(2)①設(shè)直線AC的表達(dá)式為,
∵直線AC經(jīng)過點(diǎn),,
∴,
解得,,即,
∴點(diǎn)的縱坐標(biāo)用含的代數(shù)式表示為:,
故答案為:.
②過點(diǎn)作軸于點(diǎn),
,,
,,
,
,
,
,
,
,,
點(diǎn)為,
設(shè)直線的表達(dá)式為,將和代入表達(dá)式得,,
,即表達(dá)式為,
點(diǎn)為直線和拋物線的交點(diǎn),
得,
,(舍去),
點(diǎn)的坐標(biāo)為,
過點(diǎn)作軸,垂足為點(diǎn),的延長(zhǎng)線與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn),
,,,,
在中和中,根據(jù)勾股定理,得,
同理可得,
,
四邊形為菱形,
,
菱形為正方形;
③∵直線AC:與x軸交于點(diǎn)H,
∴,
解得,x=12,
∴,
∴,,
設(shè)點(diǎn)N坐標(biāo)為,
∴,,
第一種情況:若△FHC≌△FHN,則FN=FC,NH=CH,
∴,
解得,,(即點(diǎn)C),
∴;
第二種情況:若△FHC≌△HFN,則FN=CH,NH=FC,
∴,
解得,,,
∴或,
綜上所述,以F,H,N為頂點(diǎn)的三角形與△FHC全等時(shí),點(diǎn)N坐標(biāo)為或或.
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【題目】如圖,已知點(diǎn)坐標(biāo)為,為軸正半軸上一動(dòng)點(diǎn),則度數(shù)為_________,在點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的過程中的最小值為________.
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【題目】橫臥于清波之上的黃石大橋與已經(jīng)貫通的五峰山隧道將成為恩施城區(qū)跨越東西方向的最大直線通道,它把六角亭老城區(qū)與知名景點(diǎn)女兒城連為一體,緩解了恩施城區(qū)交通擁堵的現(xiàn)狀.如圖,某數(shù)學(xué)興趣小組利用無人機(jī)在五峰山隧道正上空點(diǎn)P處測(cè)得黃石大橋西端點(diǎn)A的俯角為30°,東端點(diǎn)B(隧道西進(jìn)口)的俯角為45°,隧道東出口C的俯角為22°,已知黃石大橋AB全長(zhǎng)175米,隧道BC的長(zhǎng)約多少米(計(jì)算結(jié)果精確到1米)?(參考數(shù)據(jù):sin22°≈0.37,cos22°≈0.93,tan22°≈0.40,1.4,1.7)
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【題目】已知矩形中,是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),點(diǎn),,分別是,,的中點(diǎn).
(1)求證:;
(2)當(dāng)是的中點(diǎn)時(shí),四邊形是什么樣的特殊四邊形?請(qǐng)證明你的結(jié)論.
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【題目】伊利集團(tuán)是中國(guó)規(guī)模最大、產(chǎn)品線最全的乳制品企業(yè).綜合實(shí)踐小組的同學(xué)從網(wǎng)上搜集到如下一些伊利集團(tuán)近幾年的營(yíng)業(yè)狀況的資料,其中圖1是2013﹣2018年伊利集團(tuán)營(yíng)業(yè)收入及凈利潤(rùn)情況統(tǒng)計(jì)圖,圖2是2018年伊利集團(tuán)各品類業(yè)務(wù)營(yíng)收比例情況統(tǒng)計(jì)圖(數(shù)據(jù)來源:公司財(cái)報(bào)、中商產(chǎn)業(yè)研究院).
(1)解讀信息:
綜合實(shí)踐小組的同學(xué)結(jié)合統(tǒng)計(jì)圖提出了如下問題,請(qǐng)你解答:
①2018年,伊利集團(tuán)營(yíng)收及凈利再次刷新行業(yè)紀(jì)錄,穩(wěn)居亞洲乳業(yè)第一.這一年,伊利集團(tuán)實(shí)現(xiàn)營(yíng)業(yè)收人 億元,凈利潤(rùn) 億元;
②求2018年伊利集團(tuán)“奶粉及奶制品“業(yè)務(wù)的營(yíng)業(yè)收入(結(jié)果保留整數(shù));
③在2013﹣2018這6年中;伊利集團(tuán)凈利潤(rùn)比上一年增長(zhǎng)額最多的是 年;估計(jì)2019年伊利集團(tuán)的凈利潤(rùn)將比上一年增長(zhǎng) 億元,理由是 ;
(2)拓展活動(dòng):
如圖,同學(xué)們收集了伊利集團(tuán)旗下“優(yōu)酸乳、谷粒多、QQ星,安幕希”四種產(chǎn)品的商標(biāo)圖片(四張圖片除商標(biāo)圖案外完全相同,分別記為A,B,C,D)(見圖3).同學(xué)們用這四張卡片設(shè)計(jì)了一個(gè)游戲,規(guī)則是:將四張圖片背面朝上放在桌上,攪勻后,由甲從中隨機(jī)抽取一張,記下商標(biāo)名稱后放回;再次攪勻后,由乙從中隨機(jī)抽取一張.若兩人抽到的商標(biāo)相同則甲獲勝;否則,乙獲勝,這個(gè)規(guī)則對(duì)甲乙雙方公平嗎?說明理由.
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(1)求點(diǎn)D的坐標(biāo);
(2) ①若點(diǎn)C與點(diǎn)D關(guān)于x軸對(duì)稱,且△BCD的面積等于4,求此二次函數(shù)的關(guān)系式;
②若CD=DB,且△BCD的面積等于4,求a的值.
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(1)求證:AD是⊙O的切線;
(2)若OHAH,求四邊形AHCD與⊙O重疊部分的面積;
(3)若NHAH,BN,連接MN,求OH和MN的長(zhǎng).
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