如圖所示,已知OABC是一張放在平面直角坐標(biāo)系中的矩形紙片,O為坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)A在x軸上,點(diǎn)C在y軸上,且OA=15,OC=9,在邊AB上選取一點(diǎn)D,將△AOD沿OD翻折,使點(diǎn)A落在BC邊上,記為點(diǎn)E.
(1)求DE所在直線的解析式;
(2)設(shè)點(diǎn)P在x軸上,以點(diǎn)O、E、P為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形,問這樣的點(diǎn)P有幾個(gè),并求出所有滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo);
(3)在x軸、y軸上是否分別存在點(diǎn)M、N,使四邊形MNED的周長最。咳绻嬖,求出周長的最小值;如果不存在,請說明理由.

【答案】分析:(1)由于OE=OA=15,AD=DE,在Rt△OCE中,由勾股定理求得CE的值,再在Rt△BED中,由勾股定理建立關(guān)于DE的方程求解;
(2)分四種情況:在x的正半軸上,OP=OE時(shí);在x的負(fù)半軸上,OP=OE時(shí);EO=EP時(shí);OP=EP時(shí),分別可以求得點(diǎn)P對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo);
(3)作點(diǎn)D關(guān)于x的對稱點(diǎn)D′,點(diǎn)E關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)E′,連接E′D′,分別交于y軸、x軸于點(diǎn)N、點(diǎn)M,則點(diǎn)M、N是所求得的點(diǎn),能使四邊形的周長最小,周長且為E′D′+ED.
解答:解:(1)由題意知,OE=OA=15,AD=DE,
在Rt△OCE中,由勾股定理得:CE===12,
∴BE=BC-CE=15-12=3
在Rt△BED中,由勾股定理知:AD2=DE2=BE2+BD2,即DE2=(9-DE)2+32,
解得DE=5,
∴AD=5
∴D(15,5),E(12,9)
設(shè)DE直線的解析式為y=kx+b,

解得k=-,b=25
∴DE直線的解析式為y=-x+25;

(2)當(dāng)在x的正半軸上,OP1=OE=15時(shí),點(diǎn)P1與點(diǎn)A重合,則P1(15,0);
當(dāng)在x的負(fù)半軸上,OP2=OE=15時(shí),則P2(-15,0);
當(dāng)OE=EP3時(shí),作EH⊥OA于點(diǎn)H,有OH=CE=HP3=12,則P3(24,0);
當(dāng)OP4=EP4時(shí),由勾股定理知P4H2+EH2=P4E2,即(12-P4E)2+92=P4E2
解得OP4=EP4=,即P4,0);
∴滿足△OPE為等腰三角形的點(diǎn)有四個(gè):
P1(15,0);P2(-15,0);P3(24,0);P4,0);

(3)作點(diǎn)D關(guān)于x的對稱點(diǎn)D′,點(diǎn)E關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)E′,連接E′D′,
分別交于y軸、x軸于點(diǎn)N、點(diǎn)M,則點(diǎn)M、N是所求得的點(diǎn).
在Rt△BE′D′中,D′E′==5
∴四邊形DENM的周長=DE+EN+MN+MD=DE+D′E′=5+5
點(diǎn)評:本題綜合考查矩形的性質(zhì)、翻折的性質(zhì)、勾股定理、待定系數(shù)法、軸對稱的性質(zhì)、等腰三角形.注意第2小題中不要漏了某種情況.
練習(xí)冊系列答案
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如圖所示,已知射線CB∥OA,∠C=∠OAB=120°,E、F在CB上,且滿足∠FOB=∠AOB,OE平分∠COF.精英家教網(wǎng)
(1)求∠EOB的度數(shù);
(2)若平行移動AB,那么∠OBC:∠OFC的值是否隨之變化?若變化,請找出規(guī)律;若不變,求出這個(gè)比值;
(3)在平行移動AB的過程中,若∠OEC=∠OBA,則∠OBA=
 
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3
,CD是⊙O的直徑,CD⊥AB于點(diǎn)E,∠C=30°.
(1)求圖中扇形OAB的面積;
(2)若用扇形OAB圍成一個(gè)圓錐側(cè)面,求這個(gè)圓錐的底面圓的半徑.

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如圖所示,已知在直角梯形OABC中,AB∥OC,BC⊥x軸于點(diǎn)C,A(1,1)、B(3,1).動點(diǎn)P從O點(diǎn)出發(fā),沿x軸正方向以每秒1個(gè)單位長度的速度移動.過P點(diǎn)作PQ垂直于直線OA,垂足為Q.設(shè)P點(diǎn)移動的時(shí)間為t秒(0<t<4),△OPQ與直角梯形OABC重疊部分的面積為S.
(1)求經(jīng)過O、A、B三點(diǎn)的拋物線解析式;
(2)求S與t的函數(shù)關(guān)系式;
(3)在運(yùn)動過程中,是否存在某一時(shí)刻t,使得以C、P、Q為頂點(diǎn)的三角形與△OAB相似?若存在,求出t的值;若不存在,請說明理由.
(4)將△OPQ繞著點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,是否存在t,使得△OPQ的頂點(diǎn)O或Q在拋物線上?若存在,直接寫出t的值;若不存在,請說明理由.

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如圖所示,已知射線CB∥OA,∠C=∠OAB=140°,E、F在CB上,且滿足∠FOB=∠AOB,OE平分∠COF.
(1)∠COA=
40°
40°
,并證明OC∥AB.
(2)若平行移動AB,那么∠OFC與∠OBC的比值是否隨之變化?若不變,求出這個(gè)比值;若變化,請說明理由;
(3)在平行移動AB的過程中,若∠OEC=∠OBA,則∠AOB=
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度.

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