Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=-x2+x+3與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C：連接BC，點(diǎn)P為線段BC上方拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，連接OP交BC于點(diǎn)Q．

（1）如圖1，當(dāng)值最大時(shí)，點(diǎn)E為線段AB上一點(diǎn)，在線段BC上有兩動(dòng)點(diǎn)M，N（M在N上方），且MN=1，求PM+MN+NE-BE的最小值；

（2）如圖2，連接AC，將△AOC沿射線CB方向平移，點(diǎn)A，C，O平移后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別記作A1，C1，O1，當(dāng)C1B=O1B時(shí)，連接A1B、O1B，將△A1O1B繞點(diǎn)O1沿順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°后得△A2O1B1在直線x=上是否存在點(diǎn)K，使得△A2B1K為等腰三角形？若存在，直接寫出點(diǎn)K的坐標(biāo)；不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）K1（，），K2（，-2），K3（，-5），K4（，）

【解析】

（1）先求出拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，待定系數(shù)法求出直線BC解析式，過P作PT∥y軸交BC于T，構(gòu)造△PTQ∽△ACQ，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，通過相似三角形性質(zhì)得出關(guān)于m的函數(shù)表達(dá)式，利用二次函數(shù)最值即可；

（2）存在．先求出△AOC沿射線CB方向平移，并能使C1B=O1B時(shí)△A1O1B各頂點(diǎn)的坐標(biāo)，在求出△A1O1B繞點(diǎn)O1沿順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°后得△A2O1B1的各頂點(diǎn)坐標(biāo)，最后按照△A2B1K為等腰三角形進(jìn)行分類討論即可．

解：（1）在拋物線y=-x2+x+3中，令x=0，得y=3，∴C（0，3）；

令y=0，得-x2+x+3=0，解得：x1=-1，x2=4，∴B（4，0）

設(shè)直線BC解析式為y=kx+b，將B（4，0），C（0，3）；代入并解得：k=，b=3

∴直線BC解析式為y=x+3；

過P作PT∥y軸交BC于T，設(shè)P（t，++3），則T（t，+3），如圖所示：

∴PT=（++3）-（+3）=+3t，OC=3；

∵PT∥y軸

∴△PTQ∽△ACQ

∴==+t=

∴當(dāng)t=2時(shí)，值最大；此時(shí)，P（2，），PT=3；

在Rt△BOC中，BC==5，

∴當(dāng)NE⊥BC時(shí)，NE=BE，此時(shí)，NE-BE=0最小，

∵MN=1，∴PM+MN的最小值即PM最小值

∴PM⊥BC時(shí)，PM最小

過P作PM⊥BC于M，∴∠PMT=∠BOC=90°

∵∠PTM=∠BCO

∴=

∴PM=PT=，

故PM+MN+NE-BE的最小值=；

（2）存在．在△AOC中，∠AOC=90°，OA=1，OC=3，∴AC=

如圖2，

由平移得：C1O1=OC=3，A1O1=OA=1，A1C1=AC=，

∵C1B=O1B，C1O1⊥OB

∴C1G=C1O1=

∴BG=2，OG=2

∴C1（2，），O1（2，），A1（1，）；

∴C1B=O1B=，A1B==；

∵△A1O1B繞點(diǎn)O1沿順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°后得△A2O1B1，

∴A2O1=1，O1B1=，A2B1=；

∴A2（2，），B1（，）

∵△A2B1K為等腰三角形，

∴A2K=B1K或A2B1=B1K或A2K=A2B1，

設(shè)K（，m）

①當(dāng)A2K=B1K時(shí)，則：+=+，解得：m=-，∴K1（，），

②當(dāng)A2B1=B1K時(shí)，則：+=，解得：m1=-2，m2=-5，∴K2（，-2），K3（，-5），

③當(dāng)A2K=A2B1時(shí)，則：+=，解得：m1=（舍），m2=，∴K4（，）；

綜上所述，點(diǎn)K的坐標(biāo)為：K1（，），K2（，-2），K3（，-5），K4（，）．