【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,直線y=﹣x+3與拋物線交于A、B兩點(diǎn),點(diǎn)A在x軸上,點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為.動(dòng)點(diǎn)P在拋物線上運(yùn)動(dòng)(不與點(diǎn)A、B重合),過點(diǎn)P作y軸的平行線,交直線AB于點(diǎn)Q.當(dāng)PQ不與y軸重合時(shí),以PQ為邊作正方形PQMN,使MN與y軸在PQ的同側(cè),連結(jié)PM.設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m.
(1)求b、c的值.
(2)當(dāng)點(diǎn)N落在直線AB上時(shí),直接寫出m的取值范圍.
(3)當(dāng)點(diǎn)P在A、B兩點(diǎn)之間的拋物線上運(yùn)動(dòng)時(shí),設(shè)正方形PQMN的周長(zhǎng)為C,求C與m之間的函數(shù)關(guān)系式,并寫出C隨m增大而增大時(shí)m的取值范圍.
(4)當(dāng)△PQM與坐標(biāo)軸有2個(gè)公共點(diǎn)時(shí),直接寫出m的取值范圍.
【答案】(1), ;(2)m<﹣或0<m<3;(3)C=﹣2(m﹣)2+,﹣<m<且m≠0;(4)m<﹣.
【解析】試題分析:(1)先確定出點(diǎn)A,B的坐標(biāo),最后用待定系數(shù)法即可得出結(jié)論。
(2)點(diǎn)P在拋物線上,點(diǎn)Q在直線y=﹣x+3上,點(diǎn)N在直線AB上,設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo),再表示出Q、N的坐標(biāo),即可得出PN=PQ,再用MN與y軸在PQ的同側(cè),建立不等式即可得出結(jié)論。
(3)點(diǎn)P在點(diǎn)A,B之間的拋物線上,根據(jù)(2)可知PQ的長(zhǎng),設(shè)正方形PQMN的周長(zhǎng)為C,根據(jù)C=4PQ,建立C與m的函數(shù)關(guān)系式,求出其頂點(diǎn)坐標(biāo),根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì),即可求得結(jié)論。
(4)分兩種情況討論計(jì)算即可求出結(jié)論。
(1)解:∵直線y=﹣x+3與x軸相交于點(diǎn)A,
∴A(3,0),
∵點(diǎn)B在直線y=﹣x+3上,且B的橫坐標(biāo)為﹣ ,
∴B(﹣ , ),
∵A,B在拋物線上,
∴ ,
∴
(2)解:方法1、由(1)知,b= ,c= ,
∴拋物線的解析式為y=﹣ x2+ x+ ,
設(shè)P(m,﹣ m2+ m+ ),
∵點(diǎn)Q在直線y=﹣x+3上,
∴Q(m,﹣m+3),
∵點(diǎn)N在直線AB上,
∴N(( m2﹣ m﹣ ),(﹣ m2+ m+ )),
∴PN=| m2﹣ m﹣ ﹣m|=| m2﹣ m﹣ |
∴PQ=|﹣ m2+ m+ ﹣(﹣m+3)|=|﹣ m2+ m+ |,
∵四邊形PQMN時(shí)正方形,
∴PN=PQ,
∴| m2﹣ m﹣ |=|﹣ m2+ m+ |,此時(shí)等式恒成立,
當(dāng)m<0且m≠﹣ 時(shí),
∵M(jìn)N與y軸在PQ的同側(cè),
∴點(diǎn)N在點(diǎn)P右側(cè),
∴ m2﹣ m﹣ >m,
∴m<﹣ ,
當(dāng)m>0且m≠3時(shí),
∵M(jìn)N與y軸在PQ的同側(cè),
∴點(diǎn)P在點(diǎn)N的右側(cè),
∴ m2﹣ m﹣ <m,
∴﹣ <m<3,
∴0<m<3,
即:m的范圍為m<﹣ 或0<m<3;
方法2、如圖,
記直線AB與y軸的交點(diǎn)為D,
∵直線AB的解析式為y=﹣x+3,
∴D(0,3),
∴OD=3,
∵A(3,0),
∴OA=3,
∴OA=OB,
∴∠ODA=45°,
∵PQ∥y軸,
∴∠PQB=45°,
記:直線PN交直線AB于N',
∵四邊形PQMN是正方形,
∴∠QPN=90°,
∴∠PN'Q=45°=∠PQN',
∴PQ=PN',
∵四邊形PQMN是正方形,
∴PQ=PN,
點(diǎn)N在點(diǎn)P的左側(cè)時(shí),點(diǎn)N'都在直線AB上,
∵M(jìn)N與y軸在PQ的同側(cè),
∴m的范圍為m<﹣ 或0<m<3
(3)解:由(1)知,b= ,c= ,
∴拋物線的解析式為y=﹣ x2+ x+ ,
設(shè)P(m,﹣ m2+ m+ ),
∵點(diǎn)Q在直線y=﹣x+3上,
∴Q(m,﹣m+3),
∴PQ=|﹣ m2+ m+ ﹣(﹣m+3)|=|﹣ m2+ m+ |,
∵點(diǎn)P在點(diǎn)A,B之間的拋物線上,
∴PQ=﹣ m2+ m+ ,(﹣ <m<3且m≠0),
∵設(shè)正方形PQMN的周長(zhǎng)為C,
∴C=4PQ=4(﹣ m2+ m+ )=﹣2m2+ m+2=﹣2(m﹣ )2+ ,
∵C隨m增大而增大,
∴m< ,
∴﹣ <m< 且m≠0
(4)解:當(dāng)△PQM與坐標(biāo)軸有2個(gè)公共點(diǎn)時(shí),
∴m<0或0<m<3
當(dāng)0<m<3,PN>yP ,
由(2)知,P(m,﹣ m2+ m+ ),PQ=|﹣ m2+ m+ |=﹣ m2+ m+
∵四邊形PQMN是正方形,
∴PN=PQ=﹣ m2+ m+ >﹣ m2+ m+ ,
∴m>3,所以,此種情況不符合題意;
當(dāng)m<0時(shí),PN>yP ,
∵PQ= m2﹣ m﹣ ,
∵四邊形PQMN是正方形,
∴PN=PQ= m2﹣ m﹣ >﹣ m2+ m+ ,
∴m>3(舍)或m<﹣ ,
即:當(dāng)△PQM與坐標(biāo)軸有2個(gè)公共點(diǎn)時(shí),m<﹣ .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知四邊形DOBC是矩形,且D(0,4),B(6,0).若反比例函數(shù)y=(x>0)的圖象經(jīng)過線段OC的中點(diǎn)A,交DC于點(diǎn)E,交BC于點(diǎn)F.設(shè)直線EF的解析式為y=k2x+b.
(1)求反比例函數(shù)和直線EF的解析式;
(2)求△OEF的面積;
(3)請(qǐng)結(jié)合圖象直接寫出不等式k2x+b﹣>0的解集.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】鄰邊不相等的平行四邊形紙片,剪去一個(gè)菱形,余下一個(gè)四邊形,稱為第一次操作;在余下的四邊形紙片中再剪去一個(gè)菱形,又余下一個(gè)四邊形,稱為第二 次操作;……依此類推,若第n次操作余下的四邊形是菱形,則稱原平行四邊形為n階準(zhǔn)菱形.如圖1,平行四邊形ABCD中,若AB=1,BC=2,則平行四 邊形ABCD為1階準(zhǔn)菱形.
(I)判斷與推理:
(i)鄰邊長(zhǎng)分別為2和3的平行四邊形是_________階準(zhǔn)菱形;
(ii)為了剪去一個(gè)菱形,進(jìn)行如下操作:如圖2,把平行四邊形ABCD沿BE折疊(點(diǎn)E在AD上),使點(diǎn)A落在BC邊上的點(diǎn)F,得到四邊形ABFE,請(qǐng)證明四邊形ABFE是菱形.
(Ⅱ)操作與計(jì)算:
已知平行四邊形ABCD的鄰邊長(zhǎng)分別為l,a(a>1),且是3階準(zhǔn)菱形,請(qǐng)畫出平行四邊形ABCD及裁剪線的示意圖,并在圖形下方寫出a的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,△ABC的頂點(diǎn)都在方格紙的格點(diǎn)上.
(1) 畫出△ABC關(guān)于直線MN的對(duì)稱圖形△;
(2) 畫出△ABC關(guān)于點(diǎn)O的中心對(duì)稱圖形△;
(3) 畫出△ABC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)900后的圖形△。
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】定義:在三角形中,把一邊的中點(diǎn)到這條邊的高線的距離叫做這條邊的中垂距.
例:如圖①,在△ABC中,D為邊BC的中點(diǎn),AE⊥BC于E,則線段DE的長(zhǎng)叫做邊BC的中垂距.
(1)設(shè)三角形一邊的中垂距為d(d≥0).若d=0,則這樣的三角形一定是________,推斷的數(shù)學(xué)依據(jù)是________.
(2)如圖②,在△ABC中,∠B=45°,AB=,BC=8,AD為邊BC的中線,求邊BC的中垂距.
(3)如圖③,在矩形ABCD中,AB=6,AD=4.點(diǎn)E為邊CD的中點(diǎn),連結(jié)AE并延長(zhǎng)交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,連結(jié)AC.求△ACF中邊AF的中垂距.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】《九章算術(shù)》是我國(guó)古代數(shù)學(xué)的經(jīng)典著作,書中有一個(gè)問題:“今有黃金九枚,白銀一十一枚,稱之重適等.交易其一,金輕十三兩.問金、銀一枚各重幾何?”.意思是:甲袋中裝有黃金9枚(每枚黃金重量相同),乙袋中裝有白銀11枚(每枚白銀重量相同),稱重兩袋相等.兩袋互相交換1枚后,甲袋比乙袋輕了13兩(袋子重量忽略不計(jì)).問黃金、白銀每枚各重多少兩?設(shè)每枚黃金重x兩,每枚白銀重y兩,根據(jù)題意得( )
A.
B.
C.
D.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(10分)感知:如圖①,在四邊形ABCD中,AB∥CD,∠B=90°,點(diǎn)P在BC邊上,當(dāng)∠APD=90°時(shí),易證△ABP∽△PCD,從而得到BPPC=ABCD(不需證明)
探究:如圖②,在四邊形ABCD中,點(diǎn)P在BC邊上,當(dāng)∠B=∠C=∠APD時(shí),結(jié)論BPPC=ABCD仍成立嗎?請(qǐng)說明理由?
拓展:如圖③,在△ABC中,點(diǎn)P是BC的中點(diǎn),點(diǎn)D、E分別在邊AB、AC上.若∠B=∠C=∠DPE=45°,BC=4 ,CE=3,則DE的長(zhǎng)為 .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某班到畢業(yè)時(shí)共結(jié)余班費(fèi)1800元,班委會(huì)決定拿出不少于270元但不超過300元的資金為老師購(gòu)買紀(jì)念品,其余資金給50位同學(xué)每人購(gòu)買一件文化衫或一本相冊(cè)作為紀(jì)念品,已知每件文化衫比每本相冊(cè)貴9元,用200元恰好可以買到2件文化衫和5本相冊(cè).
(1)求每件文化衫和每本相冊(cè)的價(jià)格分別為多少元?
(2)有幾種購(gòu)買文化衫和相冊(cè)的方案?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】一農(nóng)民帶了若干千克土豆進(jìn)城出售,為了方便,他帶了一些零用錢備用,按市場(chǎng)價(jià)出售一些土豆后,又降價(jià)出售,售出土豆的千克數(shù)與他手中持有的錢數(shù)(含備用錢)的關(guān)系如圖.結(jié)合圖象回答:
(1)農(nóng)民自帶的零錢是 元;
(2)降價(jià)前他每千克土豆出售的價(jià)格是 元/千克;列出降價(jià)前售出土豆的千克數(shù)與他手中持有的錢數(shù)(含備用錢)的函數(shù)關(guān)系式為: ;
(3)降價(jià)后他按每千克0.4元將土豆售完,這時(shí)他手中的錢(含備用錢)是26元,問他一共帶了多少土豆去城里出售?
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