Question

【題目】已知的三邊長，，，，，都是整數(shù)，且，的最大公約數(shù)為．點(diǎn)和點(diǎn)分別為的重心和內(nèi)心，且．則的周長為________．

Answer 1

【答案】

【解析】

延長GI分別交BC于點(diǎn)P，AC于點(diǎn)Q，首先證明△CPQ為等腰三角形，根據(jù)內(nèi)心和重心的知識(shí)分別表示出△PCQ的面積，進(jìn)而求出a，b，c之間的等量關(guān)系式，最后對(duì)a，b，c進(jìn)行討論，進(jìn)而求出a，b和c的值．

延長GI分別交BC于點(diǎn)P，AC于點(diǎn)Q，

∵∠GIC=90°，

∴GI⊥CI，I是內(nèi)心，

∴△CPQ為等腰三角形，

∴PC=QC，

∴S△PCQ=2S△CQI=r×CQ（r為三角形ABC內(nèi)切圓半徑）

∴S△PCQ=S△PGC+S△CGQ=PCha（ha為GE⊥BC的高）+CQhb（hb為GF⊥AC的高）=CQ（ha+hb）=r×CQ，

∴2r=ha+hb①，

∵r=②，

∵S△ABC=×aha'（ha'為AM⊥BC的高）=×aha，

∴ha=，hb=，

∴ha+hb=+③，

把②③代入①得，

當(dāng)a=2，b=2時(shí)，c=2，

∵△ABC為等邊三角形，

∴GI重合，舍去，

∴a≠b，

設(shè)a＞b，a=2m，b=2n，

∵a、b的最大公約數(shù)為2，

∴（m，n）=1，

∴m+n整除12，

即m=7，n=5，

∴a=14，b=10，c=11，

∴a+b+c=35．

故答案為：35