Question

【題目】如圖，為的直徑，于，在上，連接，，延長(zhǎng)與的延長(zhǎng)線(xiàn)交于，在上，且．

求證：是的切線(xiàn)；

若，，求的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）詳見(jiàn)解析；（2）．

【解析】

（1）連結(jié)OD，由CO⊥AB得∠E+∠C=90°，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)由FE=FD，OD=OC得到∠E=∠FDE，∠C=∠ODC，于是有∠FDE+∠ODC=90°，則可根據(jù)切線(xiàn)的判定定理得到FD是⊙O的切線(xiàn)；

（2）連結(jié)AD，如圖，利用圓周角定理，由AB為⊙O的直徑得到∠ADB=90°，則∠A+∠ABD=90°，加上∠OBD=∠ODB，∠BDF+∠ODB=90°，則∠A=∠BDF，易得△FBD∽△FDA，根據(jù)相似的性質(zhì)得，再在Rt△ABD中，根據(jù)正切的定義得到tan∠A=tan∠BDF==，于是可計(jì)算出DF=2，從而得到EF=2．

連結(jié)，如圖，

∵，

∴，

∵，，

∴，，

∴，

∴，

∴，

∴是的切線(xiàn)；

連結(jié)，如圖，

∵為的直徑，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∵，

∴，

而，

∴，

∴，

在中，，

∴，

∴，

∴．