Question

已知M是弧CAB的中點，MP垂直弦AB于P，若弦AC的長度為x，線段AP的長度是x+1，那么線段PB的長度是（　�。�

• A、2x+1
• B、2x+2
• C、2x+3
• D、3x+1

Answer 1

考點：圓心角、弧、弦的關系,等腰三角形的判定與性質,圓內接四邊形的性質

專題：

分析：延長MP，交⊙O于點D，延長DC，交BA的延長線于點G，連接BD．首先由于M是弧CAB的中點，根據圓心角、弧、弦的關系，得出∠GDP=∠BDP．再根據等腰三角形的判定與性質得出PB=GP，∠B=∠G．根據圓內接四邊形的外角等于其內對角，得出∠ACG=∠B，進而證出AG=AC，從而得出BP=AP+AC．

解答：解：延長MP，交⊙O于點D，延長DC，交BA的延長線于點G，連接BD．
∵M是弧CAB的中點，
∴∠GDP=∠BDP．
∵DP⊥BG，
∴△BDG是等腰三角形，
∴PB=GP，∠B=∠G．
∵ABDC是圓內接四邊形，
∴∠ACG=∠B，
∴∠ACG=∠G，
∴AG=AC，
∴BP=AP+AG=AP+AC，
∵AC=x，AP=x+1，
∴BP=2x+1．
故選A．

點評：本題主要考查了圓心角、弧、弦的關系，等腰三角形的判定與性質，圓內接四邊形的性質，綜合性較強，難度中等，關鍵是輔助線的作法．