Question

如圖，拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，

四邊形OBHC為矩形，CH的延長(zhǎng)線交拋物線于點(diǎn)D（5，2），連結(jié)BC、AD.

（1）求C點(diǎn)的坐標(biāo)及拋物線的解析式；

（2）將△BCH繞點(diǎn)B按順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后                                      再沿x軸對(duì)折得到△BEF（點(diǎn)C與

點(diǎn)E對(duì)應(yīng)），判斷點(diǎn)E是否落在拋物線上，并說(shuō)明理由；

（3）設(shè)過(guò)點(diǎn)E的直線交AB邊于點(diǎn)P，交CD邊于點(diǎn)Q.問(wèn)是否 存 在點(diǎn)P，

使直線PQ分梯形ABCD的面積為1∶3兩部分？若存在，求出P點(diǎn)坐標(biāo)；

若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。（杭州市模擬卷）

 

Answer 1

（1）∵四邊形OBHC為矩形，∴CD∥AB，   又D（5，2）， ∴C（0，2），OC=2 . （1分）

∴  解得 ∴拋物線的解析式為： （2分）

（2）點(diǎn)E落在拋物線上. 理由如下：

由y = 0，得.  解得x₁=1，x₂=4.

∴A（4，0），B（1，0）.  （2分）

  ∴OA=4，OB=1. 由矩形性質(zhì)知：CH=OB=1，BH=OC=2，∠BHC=90°，

 由旋轉(zhuǎn)、軸對(duì)稱(chēng)性質(zhì)知：EF=1，BF=2，∠EFB=90°，

  ∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（3，－1）.            （1分）

 把x=3代入，得， ∴點(diǎn)E在拋物線上 （1分）

（3）存在點(diǎn)P（a，0），延長(zhǎng)EF交CD于點(diǎn)G，易求OF=CG=3，PB=a－1.

   S_梯形BCGF = 5，S_梯形ADGF = 3，記S_梯形BCQP = S₁，S_梯形ADQP = S₂，   （2分）

下面分兩種情形：   ①當(dāng)S₁∶S₂ =1∶3時(shí)，  ，

此時(shí)點(diǎn)P在點(diǎn)F（3，0）的左側(cè)，則PF = 3－a，由△EPF∽△EQG，得，

則QG=9－3a，∴CQ=3－(9－3a) =3a －6   由S₁=2，得，

解得；（2分）

    ②當(dāng)S₁∶S₂=3∶1時(shí)，

此時(shí)點(diǎn)P在點(diǎn)F（3，0）的右側(cè)，則PF = a－3，

由△EPF∽△EQG，得QG = 3a－9，∴CQ = 3 +（3 a－9）= 3 a－6，

由S₁= 6，得，解得.

綜上所述：所求點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，0）或（，0）（2分）