【題目】如圖,平行四邊形ABCD的對角線AC、BD交于點O,點E在邊CB的延長線上,且∠EAC=90°,AE2=EBEC.
(1)求證:四邊形ABCD是矩形;
(2)延長DB、AE交于點F,若AF=AC,求證:AE=BF.
【答案】(1)見解析;(2)見解析
【解析】
(1)根據(jù)AE2=EBEC證明△AEB∽△CEA,即可得到∠EBA=∠EAC=90°,從而說明平行四邊形ABCD是矩形;
(2)根據(jù)(1)中△AEB∽△CEA可得,再證明△EBF∽△BAF可得,結合條件AF=AC,即可證AE=BF.
證明:(1)∵AE2=EBEC
∴
又∵∠AEB=∠CEA
∴△AEB∽△CEA
∴∠EBA=∠EAC
而∠EAC=90°
∴∠EBA=∠EAC=90°
又∵∠EBA+∠CBA=180°
∴∠CBA=90°
而四邊形ABCD是平行四邊形
∴四邊形ABCD是矩形
即得證.
(2)∵△AEB∽△CEA
∴即,∠EAB=∠ECA
∵四邊形ABCD是矩形
∴OB=OC
∴∠OBC=∠ECA
∴∠EBF=∠OBC=∠ECA=∠EAB
即∠EBF=∠EAB
又∵∠F=∠F
∴△EBF∽△BAF
∴
∴
而AF=AC
∴BF=AE
即AE=BF得證.
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,梯形ABCD中,AB∥CD,AB=24cm,DC=10cm,點P和Q同時從D、B出發(fā),P由D向C運動,速度為每秒1cm,點Q由B向A運動,速度為每秒3cm,試求幾秒后,P、Q和梯形ABCD的兩個頂點所形成的四邊形是平行四邊形?
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【題目】某電器上銷售一種微波爐和電磁爐,微波爐每臺定價元,電磁爐每臺定價元,“十一”期間商場決定開展促銷活動,活動期間向客戶提供兩種優(yōu)惠方案;
方案一:買一臺微波爐送一臺電磁爐;
方案二:微波爐和電磁爐都按定價的付款;
現(xiàn)某客戶要到該賣場購買微波爐臺,電磁爐臺
(1)若該客戶按方案一、方案二購買,分別需付款多少元?(用含的式子表示)
(2)若,通過計算說明此時那種方案購買較為核算?
(3)當時,你能給出一種更為省錢的購買方案嗎?試寫出你的購買方法,并計算需付款多少元?
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【題目】若關于x的一元二次方程ax2+bx﹣1=0(a≠0)有一根為x=2019,則一元二次方程a(x﹣1)2+b(x﹣1)=1必有一根為( 。
A.B.2020C.2019D.2018
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【題目】如圖,已知AB為⊙O的直徑,AB=2,AD和BE是圓O的兩條切線,A、B為切點,過圓上一點C作⊙O的切線CF,分別交AD、BE于點M、N,連接AC、CB,若∠ABC=30°,則AM= .
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【題目】(背景知識)數(shù)軸上A、B兩點在數(shù)軸上對應的數(shù)為a、b,則A、B兩點之間的距離定義為:AB=|b-a|.
(問題情境)已知點A、B、O在數(shù)軸上表示的數(shù)分別為-6、10和0,點M、N分別從O、B出發(fā),同時向左勻速運動,點M的速度是每秒1個單位長度,點N的速度是每秒3個單位長度,設運動的時間為t秒(t>0),
(1)填空:①OA= .OB= ;
②用含t的式子表示:AM= ;AN= ;
(2)當t為何值時,恰好有AN=2AM;
(3)求|t-6|+|t+10|的最小值.
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【題目】如圖,點O是等邊內一點,,,點D是等邊△ABC外一點,∠OCD=60°,OC=OD,連接OD、AD.
(1)求的度數(shù)(用含α的式子表示)
(2)求證:;
(3)探究:當α為多少度時,是等腰三角形.
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【題目】如圖,在平面直角坐標系xOy中,直線y=﹣x+m分別交x軸,y軸于A,B兩點,已知點C(2,0).
(1)當直線AB經(jīng)過點C時,點O到直線AB的距離是 ;
(2)設點P為線段OB的中點,連結PA,PC,若∠CPA=∠ABO,則m的值是 .
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【題目】小明所在的學校加強學生的體育鍛煉,準備從某體育用品商店一次購買若干個足球和籃球(每個足球的價格相同,每個籃球的價格相同),若購買2個籃球和3個足球共需310元,購買5個籃球和2個足球共需500元.
(1)每個籃球和足球各需多少元?
(2)根據(jù)實際情況,需從該商店一次性購買籃球和足球功60個,要求購買籃球和足球的總費用不超過4000元,那么最多可以購買多少個籃球?
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