Question

如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，BC=6cm，M在AC上且AM=6cm，過(guò)點(diǎn)A（與BC在AC同側(cè)）作射線AN⊥AC，若動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿射線AN勻速運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)速度為1厘米/秒，設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．
（1）經(jīng)過(guò)幾秒時(shí)，Rt△AMP是等腰三角形？
（2）又經(jīng)過(guò)幾秒時(shí)，PM⊥AB？
（3）連接BM，在（2）的條件下，求四邊形AMBP的面積．

Answer 1

分析：（1）得出腰時(shí)AM=AP，即可得出答案；
（2）證△PAM∽△ACB，得出比例式，代入求出AP，即可得出答案；
（3）由勾股定理求出PM、AB，關(guān)鍵三角形的面積公式求出即可．

解答：（1）解：設(shè)經(jīng)過(guò)x秒時(shí)，Rt△AMP是等腰三角形，
∵∠PAM=90°，
∴只能AM=AP，
∵AM=6cm，
∴AP=6cm，
即x=6（秒），
答：經(jīng)過(guò)6秒時(shí)，Rt△AMP是等腰三角形；


（2）解：設(shè)經(jīng)過(guò)t秒時(shí)，PM⊥AB，
∵PM⊥AB，AN⊥AC，∠C=90°
∴∠PAM=∠4=∠C=90°，
∴∠3+∠2=90°，∠1+∠2=90°，
∴∠1=∠3，
∴△ACB∽△PAM，
∴

AP

AC

=

AM

BC

，
∴

x

8

=

6

6

，
x=8，
8-6=2，
答：又經(jīng)過(guò)2秒時(shí)，PM⊥AB；

（3）解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，由勾股定理得：AB=10，
同理可求PM=10，
∵PM⊥AB，
∴四邊形AMBP的面積S=

1

2

AB×PM=

1

2

×10×10=50，
答：四邊形AMBP的面積是50．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了三角形的面積，相似三角形的性質(zhì)和判定，等腰三角形性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，題目比較好，難度不大．