Question

5．若一個(gè)正整數(shù)，它的各位數(shù)字是左右對(duì)稱的，則稱這個(gè)數(shù)是對(duì)稱數(shù)，如22，797，12021都是對(duì)稱數(shù)，最小的對(duì)稱數(shù)是11，沒有最大的對(duì)稱數(shù)，因?yàn)閿?shù)位是無窮的．
（1）若將任意一個(gè)各位數(shù)字均不為零的四位對(duì)稱數(shù)分解為前兩位數(shù)所表示的數(shù)和后兩位數(shù)所表示的數(shù)，請(qǐng)你證明這兩個(gè)數(shù)的和一定能被11整除；
（2）若將一個(gè)三位對(duì)稱數(shù)$\overline{aba}$加上其各位數(shù)字之和（其中0＜a≤9，0≤b≤9），所得的結(jié)果能被13整除，求所有滿足條件的三位對(duì)稱數(shù)．

Answer 1

分析 （1）若四位數(shù)abba是一個(gè)各位數(shù)字均不為零的四位對(duì)稱數(shù)，它分解為兩位數(shù)所表示的數(shù)和后兩位數(shù)所表示的數(shù)為（10a+b）與（10b+a），則（10a+b）+10b+a=11a+11b=11（a+b），由此即可證明．
（2）三位對(duì)稱數(shù)$\overline{aba}$加上其各位數(shù)字之和為100a+10b+a+2a+b=103a+11b，由0＜a≤9，0≤b≤9，且103a+11b是13的倍數(shù)，用例舉法即可解決問題．

解答 解：（1）若四位數(shù)abba是一個(gè)各位數(shù)字均不為零的四位對(duì)稱數(shù)，
它分解為兩位數(shù)所表示的數(shù)和后兩位數(shù)所表示的數(shù)為（10a+b）與（10b+a），
所以（10a+b）+10b+a=11a+11b=11（a+b）
由于a、b均是整數(shù)，
所以分解后的兩數(shù)的和一定能被11整除；
（2）三位對(duì)稱數(shù)$\overline{aba}$加上其各位數(shù)字之和為100a+10b+a+2a+b=103a+11b，
∵0＜a≤9，0≤b≤9，且103a+11b是13的倍數(shù)，
可得$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=6}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a=3}\\{b=5}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a=5}\\{b=4}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a=7}\\{b=3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a=8}\\{b=9}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a=9}\\{b=2}\end{array}\right.$，
∴滿足條件的三位數(shù)是161或353或545或737或898或929．

點(diǎn)評(píng) 本題考查因式分解的應(yīng)用，數(shù)字問題等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會(huì)用代數(shù)式解決問題，學(xué)會(huì)用例舉法解決問題，屬于中考常考題型．