Question

直線y=-

3

x+2k與雙曲線y=

3 k

x

，其中k＞0，交于B、C兩點(diǎn)（其中B在點(diǎn)C的上方），直線與y軸的交點(diǎn)為A點(diǎn)，若AB+AC=

8 3

3

，則k的值是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題

專題：計(jì)算題

分析：直線y=-

3

x+2k與x軸交于D點(diǎn)，作BE⊥y軸于E點(diǎn)，CF⊥y軸于F點(diǎn)，先確定A（0，2k），D（

2 3 k

3

，0），再根據(jù)正切的定義可計(jì)算出∠OAD=30°，則AB=2BE，AC=2CF，
設(shè)B點(diǎn)坐標(biāo)為（x₁，y₁），C點(diǎn)坐標(biāo)為（x₂，y₂），然后解兩函數(shù)解析式所組成的方程組得到關(guān)于x的一元二次方程

3

x²-2kx+

3

k=0，利用根與系數(shù)的關(guān)系得到x₁+x₂=

2k

3

=

2 3 k

3

，根據(jù)AB+AC=

8 3

3

得到2×

2 3

3

k=

8 3

3

，最后解關(guān)于k的一次方程即可．

解答：解：如圖，直線y=-

3

x+2k與x軸交于D點(diǎn)，作BE⊥y軸于E點(diǎn)，CF⊥y軸于F點(diǎn)，
∵A點(diǎn)坐標(biāo)為（0，2k），D點(diǎn)坐標(biāo)為（

2 3 k

3

，0），
∴tan∠OAD=

OD

OA

=

2 3 k 3

2k

=

3

3

，
∴∠OAD=30°，
∴AB=2BE，AC=2CF，
設(shè)B點(diǎn)坐標(biāo)為（x₁，y₁），C點(diǎn)坐標(biāo)為（x₂，y₂），
解方程組

y=- 3 x+2k y= 3 k x

得

3

x²-2kx+

3

k=0，
∴x₁+x₂=

2k

3

=

2 3 k

3

，
∵AB+AC=

8 3

3

，
∴2（BE+CF）=

8 3

3

，
∴2×

2 3

3

k=

8 3

3

，
∴k=2．
故答案為2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題：反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)滿足兩個(gè)函數(shù)的解析式．也考查了特殊角三角形函數(shù)以及一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系．