Question

【題目】如圖（1），在△ABC中，∠C=90°，AB=5cm，BC=3cm，動(dòng)點(diǎn)P在線段AC上以5cm/s的速度從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)P作PD⊥AB于點(diǎn)D，將△APD繞PD的中點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°得到△A′DP，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x（s）．

（1）當(dāng)點(diǎn)A′落在邊BC上時(shí)，求x的值；
（2）在動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C過(guò)程中，當(dāng)x為何值時(shí)，△A′BC是以A′B為腰的等腰三角形；
（3）如圖（2），另有一動(dòng)點(diǎn)Q與點(diǎn)P同時(shí)出發(fā)，在線段BC上以5cm/s的速度從點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)Q作QE⊥AB于點(diǎn)E，將△BQE繞QE的中點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°得到△B′EQ，連結(jié)A′B′，當(dāng)直線A′B′與△ABC的一邊垂直時(shí)，求線段A′B′的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】
（1）

解：如圖1，∵在△ABC中，∠C=90°，AB=5cm，BC=3cm，

∴AC= =4cm，

當(dāng)點(diǎn)A′落在邊BC上時(shí)，由題意得，四邊形APA′D為平行四邊形，

∵PD⊥AB，

∴∠ADP=∠C=90°，

∵∠A=∠A，

∴△APD∽△ABC，

∵AP=5x，

∴A′P=AD=4x，PC=4﹣5x，

∵∠A′PD=∠ADP，

∴A′P∥AB，

∴△A′PC∽△ABC，

∴ ，即 = ，

解得：x= ，

∴當(dāng)點(diǎn)A′落在邊BC上時(shí)，x=

（2）

解：當(dāng)A′B=BC時(shí)，（5﹣8x）2+（3x）2=32，

解得： ．

∵x≤ ，

∴ ；

當(dāng)A′B=A′C時(shí)，x=

（3）

解：Ⅰ、當(dāng)A′B′⊥AB時(shí)，如圖6，

∴DH=PA'=AD，HE=B′Q=EB，

∵AB=2AD+2EB=2×4x+2×3x=5，

∴x= ，

∴A′B′=QE﹣PD=x= ；

Ⅱ、當(dāng)A′B′⊥BC時(shí)，如圖7，

∴B′E=5x，DE=5﹣7x，

∴cosB= ，

∴x= ，

∴A′B′=B′D﹣A′D= ；

Ⅲ、當(dāng)A′B′⊥AC時(shí)，如圖8，

由（1）有，x= ，

∴A′B′=PA′sinA= ；

當(dāng)A′B′⊥AB時(shí)，x= ，A′B′= ；

當(dāng)A′B′⊥BC時(shí)，x= ，A′B′= ；

當(dāng)A′B′⊥AC時(shí)，x= ，A′B′=

【解析】（1）根據(jù)勾股定理求出AC，證明△APD∽△ABC，△A′PC∽△ABC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)計(jì)算；（2）分A′B=BC、A′B=A′C兩種情況，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)解答；（3）根據(jù)題意畫出圖形，根據(jù)銳角三角函數(shù)的概念計(jì)算．