【題目】如圖,在菱形ABCD中,AB=2,∠BAD=60°,過點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E,DF⊥BC于點(diǎn)F.
(1)如圖1,連接AC分別交DE、DF于點(diǎn)M、N,求證:MN=AC;
(2)如圖2,將△EDF以點(diǎn)D為旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn),其兩邊DE′、DF′分別與直線AB、BC相交于點(diǎn)G、P,連接GP,當(dāng)△DGP的面積等于時(shí),求旋轉(zhuǎn)角的大小并指明旋轉(zhuǎn)方向.
【答案】(1)證明見解析;(2)將△EDF以點(diǎn)D為旋轉(zhuǎn)中心,順時(shí)針或逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°.
【解析】
試題分析:(1)連接BD,證明△ABD為等邊三角形,根據(jù)等腰三角形的三線合一得到AE=EB,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)解答即可;
(2)分∠EDF順時(shí)針旋轉(zhuǎn)和逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)兩種情況,根據(jù)旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)解答即可.
試題解析:(1)證明:如圖1,連接BD,交AC于O,在菱形ABCD中,∠BAD=60°,AD=AB,∴△ABD為等邊三角形,∵DE⊥AB,∴AE=EB,∵AB∥DC,∴=,同理,=,∴MN=AC;
(2)解:∵AB∥DC,∠BAD=60°,∴∠ADC=120°,又∠ADE=∠CDF=30°,∴∠EDF=60°,當(dāng)∠EDF順時(shí)針旋轉(zhuǎn)時(shí),由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知,∠EDG=∠FDP,∠GDP=∠EDF=60°,DE=DF=,∠DEG=∠DFP=90°,在△DEG和△DFP中,∵∠GDE=∠PDF,∠DEG=∠DFP,DE=DF,∴△DEG≌△DFP,∴DG=DP,∴△DGP為等邊三角形,∴△DGP的面積==,解得,DG=,則cos∠EDG=,∴∠EDG=60°,∴當(dāng)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°時(shí),△DGP的面積等于;
同理可得,當(dāng)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°時(shí),△DGP的面積也等于,綜上所述,將△EDF以點(diǎn)D為旋轉(zhuǎn)中心,順時(shí)針或逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°時(shí),△DGP的面積等于.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】每到四月,許多地方楊絮、柳絮如雪花般漫天飛舞,人們不堪其擾,據(jù)測(cè)定,楊絮纖維的直徑約為0.0000105m,該數(shù)值用科學(xué)記數(shù)法表示為( )
A.1.05×105
B.1.05×10﹣5
C.0.105×10﹣5
D.10.5×10﹣4
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】把下列各數(shù)填在相應(yīng)的表示集合的大括號(hào)里.
4,0.5,﹣1 ,10%,﹣5,﹣3.14,0, ,+2018
(1)正整數(shù)集合{…}
(2)分?jǐn)?shù)集合{…}
(3)負(fù)有理數(shù)集合{…}
(4)整數(shù)集合{…}.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】襄陽市某企業(yè)積極響應(yīng)政府“創(chuàng)新發(fā)展”的號(hào)召,研發(fā)了一種新產(chǎn)品.已知研發(fā)、生產(chǎn)這種產(chǎn)品的成本為30元/件,且年銷售量y(萬件)關(guān)于售價(jià)x(元/件)的函數(shù)解析式為:.
(1)若企業(yè)銷售該產(chǎn)品獲得的年利潤(rùn)為W(萬元),請(qǐng)直接寫出年利潤(rùn)W(萬元)關(guān)于售價(jià)x(元/件)的函數(shù)解析式;
(2)當(dāng)該產(chǎn)品的售價(jià)x(元/件)為多少時(shí),企業(yè)銷售該產(chǎn)品獲得的年利潤(rùn)最大?最大年利潤(rùn)是多少?
(3)若企業(yè)銷售該產(chǎn)品的年利潤(rùn)不少于750萬元,試確定該產(chǎn)品的售價(jià)x(元/件)的取值范圍.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】定下面一列分式: (其中x≠0)
(1)把任意一個(gè)分式除以前面一個(gè)分式,你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律?
(2)根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律,試寫出給定的那列分式中的第7個(gè)分式.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,△ABC三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(1,1),B(4,2),C(3,4).
(1)請(qǐng)畫出將△ABC向左平移4個(gè)單位長(zhǎng)度后得到的圖形△A1B1C1;
(2)請(qǐng)畫出△ABC關(guān)于原點(diǎn)O成中心對(duì)稱的圖形△A2B2C2;
(3)在x軸上找一點(diǎn)P,使PA+PB的值最小,請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如果三角形有一邊上的中線長(zhǎng)恰好等于這邊的長(zhǎng),那么稱這個(gè)三角形為“好玩三角形”.
(1)請(qǐng)用直尺和圓規(guī)在圖①中畫一個(gè)以AB為邊的“好玩三角形”;
(2)如圖②,在Rt△ABC中,∠C=90°, ,求證:△ABC是“好玩三角形”.
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