Question

已知拋物線與x軸交于A、B兩點（A點在B點左側(cè)），C（2，-2）是拋物線外一點，在拋物線的對稱軸上存在一點P，使得|PB-PC|值最大，則點P坐標(biāo)是________．

Answer 1

（4，-6）
分析：令y=0，解方程求出點A、B的坐標(biāo)，再根據(jù)拋物線解析式求出對稱軸解析式，然后找出點C關(guān)于拋物線對稱軸的對稱點C′，根據(jù)線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等可得PC=PC′，再根據(jù)三角形三邊關(guān)系可知當(dāng)點P為直線BC′與對稱軸的交點時，|PB-PC|值最大為BC′的長，再利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式求出直線BC′的解析式，然后求解即可．
解答：解：令y=0，則x²-x+=0，
整理得，x²-8x+7=0，
解得x₁=1，x₂=7，
∵A點在B點左側(cè)，
∴點A（1，0），B（7，0），
拋物線對稱軸為直線x=-=4，
∴點C（2，-2）關(guān)于直線x=4的對稱點C′坐標(biāo)為（6，-2），
根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)，PC=PC′，
根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，PB-PC′＜BC′，
∴當(dāng)點P、B、C′三點共線時，|PB-PC|值最大為BC′的長，
設(shè)直線BC′的解析式為y=kx+b，
則，
解得，
所以，直線BC′的解析式為y=2x-14，
∵點P在拋物線對稱軸上，
∴y=2×4-14=8-14=-6，
∴點P的坐標(biāo)為（4，-6）．
故答案為：（4，-6）．
點評：本題是二次函數(shù)綜合題型，主要涉及拋物線與坐標(biāo)軸的交點的求解，拋物線的對稱軸，線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等的性質(zhì)，三角形的三邊關(guān)系，找出點C關(guān)于對稱軸的對稱點C′，并且判斷出點P在直線BC′是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點．