Question

【題目】如圖1所示，拋物線交x軸于點(diǎn)和點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)．

求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

如圖2所示，若點(diǎn)M是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，且，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；

如圖3所示，設(shè)點(diǎn)N是線段AC上的一動(dòng)點(diǎn)，作軸，交拋物線于點(diǎn)P，求線段PN長(zhǎng)度的最大值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）點(diǎn)P坐標(biāo)為或或或； 線段PN長(zhǎng)度最大值為4．

【解析】

（1）把函數(shù)設(shè)為交點(diǎn)式，代入C點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求出a的值即可；
（2）設(shè)M點(diǎn)坐標(biāo)為（x，-x2-3x+4），根據(jù)S△AOM=3S△BOC列出關(guān)于x的方程，解方程求出x的值，進(jìn)而得到點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）先運(yùn)用待定系數(shù)法求出直線AC的解析式為y=x+4，再設(shè)N點(diǎn)坐標(biāo)為（x，x+4），則P點(diǎn)坐標(biāo)為（x，-x2-3x+4），然后用含x的代數(shù)式表示PN，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出線段PN長(zhǎng)度的最大值．

解：（1）把函數(shù)設(shè)為交點(diǎn)式，

由，得，把代入，得，

故拋物線的解析式為；

（2）設(shè)M點(diǎn)坐標(biāo)為，

，

，

整理得或，

解得或，

則符合條件的點(diǎn)P坐標(biāo)為或或或；

（3）設(shè)直線AC的解析式為，將，代入，

，

解得，

即直線AC的解析式為，

設(shè)點(diǎn)N坐標(biāo)為，，則P點(diǎn)坐標(biāo)為，

設(shè)，則，

即當(dāng)時(shí)，y有最大值4，

故線段PN長(zhǎng)度最大值為4．