Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，的頂點(diǎn)、的坐標(biāo)分別為、，頂點(diǎn)在軸的正半軸上，的高交線段于點(diǎn)，且.

（1）求線段的長；

（2）動點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿線段以每秒個(gè)單位長度的速度向終點(diǎn)運(yùn)動，動點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿射線以每秒個(gè)單位長度的速度運(yùn)動，、兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，且點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)處時(shí)、兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動，設(shè)點(diǎn)的運(yùn)動時(shí)間為秒，的面積為，請用含的式子表示，直接寫出相應(yīng)的的取值范圍；

（3）在（2）的條件下，點(diǎn)是直線上的一點(diǎn)且，是否存在值，使以點(diǎn)、、為頂點(diǎn)的三角形與以點(diǎn)、、為頂點(diǎn)的三角形全等？若存在，請求出符合條件的值，若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）5；（2）當(dāng)點(diǎn)Q在線段BO上時(shí)，0＜t＜；當(dāng)點(diǎn)Q在線段BO的延長線上時(shí)，＜t＜5；（3）存在，當(dāng)點(diǎn)F在線段AC的延長線上時(shí)，t=1；當(dāng)點(diǎn)F在線段AC上時(shí)，t=．

【解析】

（1）易證∠OAC=∠CBD，即可證明△AED≌△BCD，可得AE=BC，即可解題；
（2）分類討論：①當(dāng)點(diǎn)Q在線段BO上時(shí)，根據(jù)S=PEOQ即可解題；
②當(dāng)點(diǎn)Q在線段BO的延長線上時(shí)，根據(jù)S=PEOQ即可解題；
（3）有兩種情況：①當(dāng)點(diǎn)F在線段AC的延長線上時(shí)，用t分別表示PE，QC，根據(jù)PE=QC即可求得t的值，即可解題，
②當(dāng)點(diǎn)F在線段AC上時(shí)（如圖4），點(diǎn)F與D重合，用t分別表示PE，QC，根據(jù)PE=QC即可求得t的值，即可解題．

解：（1）∵BD⊥AC，
∴∠ADE=∠BDC=90°，
∴∠CBD+∠ACB=90°，
∵∠AOC=90°，
∴∠OAC+∠ACB=90°，
∴∠OAC=∠CBD，
在△AED和△BCD中，

，
∴△AED≌△BCD（ASA），
∴AE=BC，
∵B（-2，0），C（3，0）
∴BC=5，
∴AE=5．
（2）分類討論：①當(dāng)點(diǎn)Q在線段BO上時(shí)，（如圖1）

S=PEOQ=t（2-4t）=-2t2+t，（0＜t＜）；
②當(dāng)點(diǎn)Q在線段BO的延長線上時(shí)，（如圖2）

S=PEOQ=t（4t-2）=2t2-t，（＜t＜5）；
（3）有兩種情況：
①當(dāng)點(diǎn)F在線段AC的延長線上時(shí)（如圖3）
可知∠BEP=∠FCQ，BE=CF，此時(shí)存在△PBE≌△QCF，
則PE=QC，

此時(shí)CQ=5-4t，PE=t，
∴5-4t=t，
解得：t=1；
②當(dāng)點(diǎn)F在線段AC上時(shí)（如圖4），點(diǎn)F與D重合，
可知∠BEP=∠FCQ，BE=CF，此時(shí)存在△PBE≌△QCF，
則PE=QC，

此時(shí)CQ=4t-5，PE=t，
∴4t-5=t，
解得：t=．

故答案為：（1）5；（2）當(dāng)點(diǎn)Q在線段BO上時(shí)，0＜t＜；當(dāng)點(diǎn)Q在線段BO的延長線上時(shí)，＜t＜5；（3）存在，當(dāng)點(diǎn)F在線段AC的延長線上時(shí)，t=1；當(dāng)點(diǎn)F在線段AC上時(shí)，t=．