Question

已知正方形紙片ABCD．如圖1，將正方形紙片折疊，使頂點(diǎn)A落在邊CD上的點(diǎn)P處（點(diǎn)P與C、D不重合），折痕為EF，折疊后AB邊落在PQ的位置，PQ與BC交于點(diǎn)G．
（1）請(qǐng)你找到一個(gè)與△EDP相似的三角形，并證明你的結(jié)論；
（2）當(dāng)AB=2，點(diǎn)P位于CD中點(diǎn)時(shí)，請(qǐng)借助圖2畫出折疊后的示意圖，并求CG的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）仔細(xì)觀察圖形可證明△EDP∽△PCG，兩者都是直角三角形，再尋找一個(gè)角相等即可作出判斷．
（2）AE=x，則ED=2-x，EP=x，在RT△EDP中利用勾股定理可解出x的值，再由△EDP∽△PCG，利用相似三角形的性質(zhì)可得出CG的長(zhǎng)度．

解答：解：（1）與△EDP相似的三角形是△PCG（或△FQG）．
證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°，
由折疊知∠EPQ=∠A=90°，
∴∠1+∠3=90°，∠1+∠2=90°，
∴∠2=∠3．
∴△EDP∽△PCG．

（2）正確畫出示意圖．
∵四邊形ABCD是正方形，AB=2，
∴AB=BC=CD=DA=2．
設(shè)AE=x，則ED=2-x，EP=x．
∵P是CD的中點(diǎn)，
∴DP=PC=1．
在Rt△EDP中，∠D=90°，
根據(jù)勾股定理得：x²=（2-x）²+1，
解得 x=

5

4

，
∴ED=

3

4

，
∵△EDP∽△PCG，
∴

ED

PC

=

DP

CG

．
∴

3 4

1

=

1

CG

．
∴CG=

4

3

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了翻折變換、勾股定理及正方形的性質(zhì)，綜合性較強(qiáng)，解答本題的關(guān)鍵是要求我們熟練勾股定理在解直角三角形中的應(yīng)用，及翻折變換的性質(zhì)，難度較大．