Question

【題目】如圖1，拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，連接、，已知點(diǎn)A、C的坐標(biāo)為、．

（1）求拋物線的表達(dá)式；

（2）點(diǎn)P是線段下方拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，如果在x軸上存在點(diǎn)Q，使得以點(diǎn)B、C、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；

（3）如圖2，若點(diǎn)M是內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且滿足，過(guò)點(diǎn)M作，垂足為N，設(shè)的內(nèi)心為I，試求的最小值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）Q的坐標(biāo)為或；（3）的最小值為

【解析】

（1）待定系數(shù)法求解析式；

（2）根據(jù)即點(diǎn)C坐標(biāo)，可以求出P點(diǎn)坐標(biāo)，算出CP長(zhǎng)，即可寫(xiě)出Q點(diǎn)坐標(biāo);

（3）利用可判斷出I的運(yùn)動(dòng)軌跡是圓弧，設(shè)I運(yùn)動(dòng)軌跡所在的圓心為G

計(jì)算出圓心G的坐標(biāo)及半徑為，當(dāng)G、I、C三點(diǎn)共線時(shí)候最短.

（1）由題意得：A點(diǎn)坐標(biāo)為，C點(diǎn)坐標(biāo)為帶入中

得：，

解得：

∴拋物線的解析式為．

（2）∵點(diǎn)Q在x軸上，又點(diǎn)B、C、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形

∴，由對(duì)稱(chēng)性可知，P點(diǎn)的坐標(biāo)為

∴，∴．

∴Q的坐標(biāo)為或．

（3）連接，，

∵I為的內(nèi)心

∴、分別平分，

∴

又∵，∴

∴．

又∵，

∴

∴

∴I的運(yùn)動(dòng)軌跡是圓弧．

設(shè)I運(yùn)動(dòng)軌跡所在的圓心為G

∵，∴

又∵，

∴圓心G的坐標(biāo)為，半徑為

當(dāng)G、I、C三點(diǎn)共線時(shí)候最短

∵，

∴的最小值為

綜上所述：的最小值為．