Question

【題目】如圖1,拋物線與軸交于點和點,與軸交于點,拋物線的頂點為軸于點．將拋物線平移后得到頂點為且對稱軸為直的拋物線．

(1)求拋物線的解析式；

(2)如圖2,在直線上是否存在點,使是等腰三角形?若存在,請求出所有點的坐標:若不存在,請說明理由；

(3)點為拋物線上一動點,過點作軸的平行線交拋物線于點，點關(guān)于直線的對稱點為，若以為頂點的三角形與全等,求直線的解析式．

Answer 1

【答案】（1）拋物線的解析式為；（2）點的坐標為,,；（3）的解析式為或.

【解析】（1）把和代入求出a、c的值，進而求出y1，再根據(jù)平移得出y2即可；

（2）拋物線的對稱軸為,設,已知，過點作軸于,分三種情況時行討論等腰三角形的底和腰，得到關(guān)于t的方程，解方程即可；

（3）設,則,根據(jù)對稱性得,分點在直線的左側(cè)或右側(cè)時,結(jié)合以構(gòu)成的三角形與全等求解即可.

詳解:(1)由題意知，

，

解得，

所以,拋物線y的解析式為；

因為拋物線平移后得到拋物線,且頂點為，

所以拋物線的解析式為，

即： ；

(2)拋物線的對稱軸為,設,已知，

過點作軸于,

則 ，

，

，

當時，

即，

解得或；

當時,得，無解；

當時,得,解得;

綜上可知,在拋物線的對稱軸上存在點使是等腰三角形,此時點的坐標為,,.

(3)設,則,

因為關(guān)于對稱,

所以,

情況一:當點在直線的左側(cè)時,

,

,

又因為以構(gòu)成的三角形與全等,

當且時,,

可求得,即點與點重合

所以,

設的解析式,

則有

解得,

即的解析式為,

當且時,無解,

情況二:當點在直線右側(cè)時,

,

,

同理可得

的解析式為,

綜上所述, 的解析式為或.