Question

【題目】如圖，D是△ABC的BC邊上一點(diǎn)，連接AD，作△ABD的外接圓，將△ADC沿直線AD折疊，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)E落在圓上，連接AE，AE與BD相交于點(diǎn)F．

(1)求證：AE=AB；

(2)若E為弧BD的中點(diǎn)，試說明：DE2=EF·AE；

(3)在(2)的條件下，若cos∠ADB=，BE=2，求AF的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析；(3) AF=3.

【解析】

（1）先根據(jù)翻折的性質(zhì)和圓周角定理得出∠C=∠AED=∠ABC和AC=AE再推出AC=AB，從而得到AE=AB；

（2）根據(jù)E為弧BD的中點(diǎn)和圓周角定理得出∠DAE=∠EDB，然后證明△DEF∽△AED；

（3）作AH⊥BE，利用三角函數(shù)求出AE=4，利用（2）相似線段關(guān)系求出EF=1，從而得出：AF=3.

（1）由折疊的性質(zhì)可知△ADE≌△ADC

∴∠AED=∠ACD，AE=AC，

∵∠ABD=∠AED，

∴∠ABD=∠ACD，

∴AB=AC，

∴AE=AB；

（2）∵E為弧BD的中點(diǎn)

∴∠DAE=∠EAB

∵∠EDB=∠EAB

∴∠DAE=∠EDB

∴△DEF∽△AED

∴

∴

（3）過A作AH⊥BE于點(diǎn)H

∵AB=AE，BE=2，

∴BH=EH=1，

∵∠ABE=∠AEB=∠ADB，，

∴，

∴．

∴AC=AB=4

∵E為弧BD的中點(diǎn)

∴DE=EB=2

根據(jù)（2）中的結(jié)論

可得：

∴EF=1

∴AF=AE-EF=3