Question

【題目】已知一次函數(shù)y1＝kx+n（n＜0）和反比例函數(shù)y2＝（m＞0，x＞0）．

（1）如圖1，若n＝﹣2，且函數(shù)y1、y2的圖象都經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（3，4）．

①求m，k的值；

②直接寫出當(dāng)y1＞y2時(shí)x的范圍；

（2）如圖2，過(guò)點(diǎn)P（1，0）作y軸的平行線l與函數(shù)y2的圖象相交于點(diǎn)B，與反比例函數(shù)y3＝（x＞0）的圖象相交于點(diǎn)C．

①若k＝2，直線l與函數(shù)y1的圖象相交點(diǎn)D．當(dāng)點(diǎn)B、C、D中的一點(diǎn)到另外兩點(diǎn)的距離相等時(shí)，求m﹣n的值；

②過(guò)點(diǎn)B作x軸的平行線與函數(shù)y1的圖象相交于點(diǎn)E．當(dāng)m﹣n的值取不大于1的任意實(shí)數(shù)時(shí)，點(diǎn)B、C間的距離與點(diǎn)B、E間的距離之和d始終是一個(gè)定值．求此時(shí)k的值及定值d．

Answer 1

【答案】（1）①m=12；k=2；②x＞3；（2）①m﹣n＝1或4或2；②k＝1，d＝1．

【解析】

（1）①將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達(dá)式即可得出k的值，將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)表達(dá)式即可得出m的值；②由圖象可以直接得出結(jié)果；
（2）①當(dāng)x＝1時(shí)，點(diǎn)D、B、C的坐標(biāo)分別為（1，2+n）、（1，m）、（1，n），則BD=|2+n-m|，BC=m-n，DC=2+n-n=2，由BD=BC或BD=DC或BC=CD，即可求解；②先得出點(diǎn)E的坐標(biāo)為，當(dāng)點(diǎn)E在點(diǎn)B左側(cè)時(shí)，d=BC+BE=m-n+=1+（m-n）（1-），由1-=0即可求解；當(dāng)點(diǎn)E在點(diǎn)B右側(cè)時(shí)，同理BC+BE＝（m﹣n）（1+）﹣1，不合題意舍去．

解：（1）①當(dāng)n=-2時(shí)，一次函數(shù)為y1=kx-2，

將點(diǎn)A的坐標(biāo)（3，4）代入一次函數(shù)表達(dá)式得，4=3k-2，解得k＝2，

將點(diǎn)A的坐標(biāo)（3，4）代入反比例函數(shù)y2＝得，m＝3×4＝12；

②由圖象可以看出x＞3時(shí)，y1＞y2；

（2）①由k=2，則y1=2x+n，

當(dāng)x＝1時(shí)，點(diǎn)D、B、C的坐標(biāo)分別為（1，2+n）、（1，m）、（1，n），

則BD＝|2+n﹣m|，BC＝m﹣n，DC＝2+n﹣n＝2，

則BD＝BC或BD＝DC或BC＝CD，

即：|2+n﹣m|＝m﹣n或|2+n﹣m|＝2或m﹣n＝2，

即：m﹣n＝1或0或2或4，

當(dāng)m﹣n＝0時(shí)，m＝n與題意不符，

點(diǎn)D不能在C的下方，即BC＝CD也不存在，n+2＞n，

當(dāng)B、D重合時(shí)，m﹣n＝2成立，

故m﹣n＝1或4或2；

②∵點(diǎn)E的縱坐標(biāo)與點(diǎn)B的縱坐標(biāo)相等為m，

y1＝kx+n中令y1=m得，點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為，

當(dāng)點(diǎn)E在點(diǎn)B左側(cè)時(shí)，

d＝BC+BE＝m﹣n+（1﹣）＝1+（m﹣n）（1﹣），

m﹣n的值取不大于1的任意數(shù)時(shí)，d始終是一個(gè)定值，

當(dāng)1﹣＝0時(shí)，此時(shí)k＝1，從而d＝1．

當(dāng)點(diǎn)E在點(diǎn)B右側(cè)時(shí)，

同理d＝BC+BE＝（m﹣n）（1+）﹣1，

當(dāng)1+＝0，k＝﹣1時(shí)，（不合題意舍去）

故k＝1，d＝1．