Question

【題目】如圖1，平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax2﹣4ax+c與直線y=kx+1（k≠0）交于y軸上一點(diǎn)A和第一象限內(nèi)一點(diǎn)B，該拋物線頂點(diǎn)H的縱坐標(biāo)為5．

（1）求拋物線的解析式；

（2）連接AH、BH，拋物線的對(duì)稱軸與直線y=kx+1（k≠0）交于點(diǎn)K，若S△AHB=，求k的值；

（3）在（2）的條件下，點(diǎn)P是直線AB上方的拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)（如圖2），連接PA．當(dāng)∠PAB=45°時(shí)，

ⅰ）求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

ⅱ）已知點(diǎn)M在拋物線上，點(diǎn)N在x軸上，當(dāng)四邊形PBMN為平行四邊形時(shí)，請(qǐng)求出點(diǎn)M的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣（x﹣2）2+5；（2）k=；（3）ⅰ）P（1，4），ⅱ）M（﹣，﹣）

【解析】

（1）拋物線與直線交于y軸上一點(diǎn)A，可求c=1，根據(jù)頂點(diǎn)縱坐標(biāo)為5，可求，即可求拋物線解析式．

（2）由 將線段的長(zhǎng)代入可求k的值

（3）�。┤鐖D：將AB繞B點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到BC位置，過(guò)B點(diǎn)作BD⊥x軸，過(guò)點(diǎn)C點(diǎn)作CD⊥BD于D，過(guò)A點(diǎn)作AE⊥BD于E，可證△ABE≌△BCD，可得C點(diǎn)坐標(biāo)，即可求AC解析式，由點(diǎn)P是直線AC與拋物線的交點(diǎn)可求P點(diǎn)坐標(biāo)．

ⅱ）四邊形PBMN為平行四邊形，可得 根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式可求M的橫坐標(biāo)，代入拋物線可求M的坐標(biāo)．

（1）∵拋物線 與直線交于y軸上一點(diǎn)A

∴ 即c=1

∵拋物線

∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為，

∴

∴

∴拋物線解析式

（2）∵拋物線與直線相交

∴

∴

∴B點(diǎn)橫坐標(biāo)為

∵點(diǎn)B在第一象限

∴即

∵

∴

解得：（不合題意舍去）

（3）�。┤鐖D：將AB繞B點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到BC位置，過(guò)B點(diǎn)作BD⊥x軸，過(guò)點(diǎn)C點(diǎn)作CD⊥BD于D，過(guò)A點(diǎn)作AE⊥BD于E

∵

∴

∵

∴

∵旋轉(zhuǎn)

∴

∴

且

∴且

∴≌

∴

∴

設(shè)AC解析式

∴=b+1

∴b=3

∴AC解析式

∵P是直線AC與拋物線的交點(diǎn)

∴

∴

∴

ⅱ）如圖2：設(shè)PN與BM的交點(diǎn)為H

∵四邊形PBMN為平行四邊形

∴

∵P的橫坐標(biāo)為1，N的橫坐標(biāo)為2．

∴H的橫坐標(biāo)為

∵B的橫坐標(biāo)為

∴M的橫坐標(biāo)為

∴

∴