【題目】如圖,拋物線(,b是常數(shù),且≠0)與x軸交于A,B兩點,與y軸交于點C.并且A,B兩點的坐標(biāo)分別是A(-1,0),B(3,0)
(1)①求拋物線的解析式;②頂點D的坐標(biāo)為_______;③直線BD的解析式為______;
(2)若P為線段BD上的一個動點,其橫坐標(biāo)為m,過點P作PQ⊥x軸于點Q,求當(dāng)m為何值時,四邊形PQOC的面積最大?
(3)若點M是拋物線在第一象限上的一個動點,過點M作MN∥AC交軸于點N.當(dāng)點M的坐標(biāo)為_______時,四邊形MNAC是平行四邊形.
【答案】(1)①;②(1,4);③;(2)當(dāng)時,S最大值=;(3)(2,3)
【解析】
(1)①把點A、點B的坐標(biāo)代入,求出,b即可;②根據(jù)頂點坐標(biāo)公式求解;③設(shè)直線BD的解析式為,將點B、點D的坐標(biāo)代入即可;
(2)求出點C坐標(biāo),利用直角梯形的面積公式可得四邊形PQOC的面積s與m的關(guān)系式,可求得面積的最大值;
(3)要使四邊形MNAC是平行四邊形只要即可,所以點M與點C的縱坐標(biāo)相同,由此可求得點M坐標(biāo).
解:(1)①把A(-1,0),B(3,0)代入,得
解得
∴
②當(dāng)時,
所以頂點坐標(biāo)為(1,4)
③設(shè)直線BD的解析式為,將點B(3,0)、點D(1,4)的坐標(biāo)代入得
,解得
所以直線BD的解析式為
(2)∵點P的橫坐標(biāo)為m,則點P的縱坐標(biāo)為.
當(dāng)時,
∴C(0,3).
由題意可知:
OC=3,OQ=m,PQ=.
∴s=
=
=.
∵-1<0,1<<3,
∴當(dāng)時,s最大值=
如圖,MN∥AC,要使四邊形MNAC是平行四邊形只要即可.
設(shè)點M的坐標(biāo)為,
由可知點
解得或0(不合題意,舍去)
當(dāng)點M的坐標(biāo)為(2,3)時,四邊形MNAC是平行四邊形.
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【題目】如圖,已知∠XOY=60°,點A在邊OX上,OA=2.過點A作AC⊥OY于點C,以AC為一邊在∠XOY內(nèi)作等邊三角形ABC,點P是△ABC圍成的區(qū)域(包括各邊)內(nèi)的一點,過點P作PD∥OY交OX于點D,作PE∥OX交OY于點E.設(shè)OD=a,OE=b,則a+2b的取值范圍是_____.
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【題目】如圖,在Rt△AOB中,∠AOB=90°,OA=3,OB=2,將Rt△AOB繞點O順時針旋轉(zhuǎn)90°后得Rt△FOE,將線段EF繞點E逆時針旋轉(zhuǎn)90°后得線段ED,分別以O,E為圓心,OA、ED長為半徑畫弧AF和弧DF,連接AD,則圖中陰影部分面積是_____.
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【題目】如圖在矩形ABCD中,AB=,AD=3,點P是AD邊上的一個動點,連接BP,作點A關(guān)于直線BP的對稱點A1,連接A1C,設(shè)A1C的中點為Q,當(dāng)點P從點A出發(fā),沿邊AD運動到點D時停止運動,點Q的運動路徑長為( )
A.πB.πC.πD.π
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【題目】如圖1,拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于點A(﹣1,0)、B(3,0),與y軸交于點C(0,﹣3).
(1)求拋物線的解析式;
(2)拋物線上是否存在一點P,使得∠APB=∠ACO成立?若存在,求出點P的坐標(biāo):若不存在,請說明理由.
(3)我們規(guī)定:對于直線l1:y=k1x+b,直線l2:y=k2x+b2,若直線k1k2=﹣1,則直線l1⊥l2;反過來也成立.請根據(jù)這個規(guī)定解決下列可題:
如圖2,將該拋物線向上平移過原點與直線y=kx(k>0)另交于C點.點T為該二次函數(shù)圖象上位于直線OC下方的動點,過點T作直線TM⊥OC′,重足為點M,且M在線段OC′上(不與O、C′重合),過點T作直線TN∥y軸交OC'于點N.若在點T運動的過程中,為常數(shù),試確定k的值.
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【題目】某大型商場出售一種時令鞋,每雙進(jìn)價100元,售價300元,則每月能售出400雙.經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn):每降價10元,則每天可多售出50雙.設(shè)每雙降價x元,每天總獲利y元.
(1)如果降價40元,每天總獲利多少元呢?
(2)每雙售價為多少元時,每天的總獲利最大?最大獲利是多少?
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【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,M、N、C三點的坐標(biāo)分別為(,1),(3,1),(3,0),點A為線段MN上的一個動點,連接AC,過點A作AB⊥AC交y軸于點B,當(dāng)點A從M運動到N時,點B隨之運動,設(shè)點B的坐標(biāo)為(0,b),則b的取值范圍是( )
A.≤b≤1B.≤b≤1C.≤b≤D.≤b≤1
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【題目】如圖,Rt△ABC中,∠ABC=90°,以AB為直徑的⊙O交AC于點D,點E為BC的中點,連接DE.
(1)求證:DE是⊙O的切線;
(2)求證:4DE2=CDAC.
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【題目】八(1)班為了配合學(xué)校體育文化月活動的開展,同學(xué)們從捐助的班費中拿出一部分錢來購買羽毛球拍和跳繩。已知購買一副羽毛球拍比購買一根跳繩多20元。若用200元購買羽毛球拍和用80元購買跳繩,則購買羽毛球拍的副數(shù)是購買跳繩根數(shù)的一半。
(1)求購買一副羽毛球拍、一根跳繩各需多少元?
(2)雙11期間,商店老板給予優(yōu)惠,購買一副羽毛球拍贈送一根跳繩,如果八(1)班需要的跳繩根數(shù)比羽毛球拍的副數(shù)的倍還多,且該班購買羽毛球拍和跳繩的總費用不超過元,那么八(1)班最多可購買多少副羽毛球拍?
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