Question

【題目】探究題：如圖，AB⊥BC，射線CM⊥BC，且BC＝5cm，AB＝1cm，點(diǎn)P是線段BC（不與點(diǎn)B、C重合）上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作DP⊥AP交射線CM于點(diǎn)D，連結(jié)AD．

（1）如圖1，若BP＝4cm，則CD＝　 　；

（2）如圖2，若DP平分∠ADC，試猜測(cè)PB和PC的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

（3）若△PDC是等腰三角形，則CD＝　 　cm．（請(qǐng)直接寫出答案）

Answer 1

【答案】（1）4cm；（2）PB＝PC，理由見解析；（3）4

【解析】

（1）根據(jù)AAS定理證明△ABP≌△PCD，可得BP＝CD；

（2）延長(zhǎng)線段AP、DC交于點(diǎn)E，分別證明△DPA≌△DPE、△APB≌△EPC，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)解答；

（3）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)計(jì)算．

解：（1）∵BC＝5cm，BP＝4cm，

∴PC＝1cm，

∴AB＝PC，

∵DP⊥AP，

∴∠APD＝90°，

∴∠APB+∠CPD＝90°，

∵∠APB+∠CPD＝90°，∠APB+∠BAP＝90°，

∴∠BAP＝∠CPD，

在△ABP和△PCD中，

，

∴△ABP≌△PCD，

∴BP＝CD＝4cm；

（2）PB＝PC，

理由：如圖2，延長(zhǎng)線段AP、DC交于點(diǎn)E，

∵DP平分∠ADC，

∴∠ADP＝∠EDP．

∵DP⊥AP，

∴∠DPA＝∠DPE＝90°，

在△DPA和△DPE中，

，

∴△DPA≌△DPE（ASA），

∴PA＝PE．

∵AB⊥BP，CM⊥CP，

∴∠ABP＝∠ECP＝Rt∠．

在△APB和△EPC中，

，

∴△APB≌△EPC（AAS），

∴PB＝PC；

（3）∵△PDC是等腰三角形，

∴△PCD為等腰直角三角形，即∠DPC＝45°，

又∵DP⊥AP，

∴∠APB＝45°，

∴BP＝AB＝1cm，

∴PC＝BC﹣BP＝4cm，

∴CD＝CP＝4cm，

故答案為：4．