【題目】探究題:如圖,AB⊥BC,射線CM⊥BC,且BC=5cm,AB=1cm,點(diǎn)P是線段BC(不與點(diǎn)B、C重合)上的動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)P作DP⊥AP交射線CM于點(diǎn)D,連結(jié)AD.
(1)如圖1,若BP=4cm,則CD= ;
(2)如圖2,若DP平分∠ADC,試猜測(cè)PB和PC的數(shù)量關(guān)系,并說明理由;
(3)若△PDC是等腰三角形,則CD= cm.(請(qǐng)直接寫出答案)
【答案】(1)4cm;(2)PB=PC,理由見解析;(3)4
【解析】
(1)根據(jù)AAS定理證明△ABP≌△PCD,可得BP=CD;
(2)延長(zhǎng)線段AP、DC交于點(diǎn)E,分別證明△DPA≌△DPE、△APB≌△EPC,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)解答;
(3)根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)計(jì)算.
解:(1)∵BC=5cm,BP=4cm,
∴PC=1cm,
∴AB=PC,
∵DP⊥AP,
∴∠APD=90°,
∴∠APB+∠CPD=90°,
∵∠APB+∠CPD=90°,∠APB+∠BAP=90°,
∴∠BAP=∠CPD,
在△ABP和△PCD中,
,
∴△ABP≌△PCD,
∴BP=CD=4cm;
(2)PB=PC,
理由:如圖2,延長(zhǎng)線段AP、DC交于點(diǎn)E,
∵DP平分∠ADC,
∴∠ADP=∠EDP.
∵DP⊥AP,
∴∠DPA=∠DPE=90°,
在△DPA和△DPE中,
,
∴△DPA≌△DPE(ASA),
∴PA=PE.
∵AB⊥BP,CM⊥CP,
∴∠ABP=∠ECP=Rt∠.
在△APB和△EPC中,
,
∴△APB≌△EPC(AAS),
∴PB=PC;
(3)∵△PDC是等腰三角形,
∴△PCD為等腰直角三角形,即∠DPC=45°,
又∵DP⊥AP,
∴∠APB=45°,
∴BP=AB=1cm,
∴PC=BC﹣BP=4cm,
∴CD=CP=4cm,
故答案為:4.
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【題目】一個(gè)不透明的袋子中裝有若干個(gè)白球和紅球,這些球除顏色外都相同,某課外學(xué)習(xí)小組做摸球試驗(yàn),將求攪均勻后從張任意摸出一個(gè)球,記下顏色后放回,攪勻,不斷重復(fù),獲得數(shù)據(jù)如下
摸球次數(shù) | ||||||
摸到白球的頻數(shù) | ||||||
摸到白球的頻率 |
計(jì)算并填寫表中摸到白球的頻率;
當(dāng)摸球次數(shù)很大時(shí),摸到的白球的頻率估計(jì)值是多少?
若已知袋中有白球個(gè),試估計(jì)袋中紅球的個(gè)數(shù).
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【題目】在大課間活動(dòng)中,同學(xué)們積極參加體育鍛煉,小明就本班同學(xué)“我最喜愛的體育項(xiàng)目”進(jìn)行了一次調(diào)查統(tǒng)計(jì),下面是他通過收集數(shù)據(jù)后,繪制的兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖.請(qǐng)你根據(jù)圖中提供的信息,解答以下問題:
(1)該班共有_____名學(xué)生;
(2)補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖;
(3)在扇形統(tǒng)計(jì)圖中,“乒乓球”部分所對(duì)應(yīng)的圓心角度數(shù)為_____;
(4)學(xué)校將舉辦體育節(jié),該班將推選5位同學(xué)參加乒乓球活動(dòng),有3位男同學(xué)(A,B,C)和2位女同學(xué)(D,E),現(xiàn)準(zhǔn)備從中選取兩名同學(xué)組成雙打組合,用樹狀圖或列表法求恰好選出一男一女組成混合雙打組合的概率.
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【題目】如圖,矩形ABCD中,AB=4,AD=5,E為BC上一點(diǎn),BE∶CE=3∶2,連接AE,點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā),沿射線AB的方向以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度勻速運(yùn)動(dòng),過點(diǎn)P作PF∥BC交直線AE于點(diǎn)F.
(1)線段AE=______;
(2)設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(s),EF的長(zhǎng)度為y,求y關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式,并寫出t的取值范圍;
(3)當(dāng)t為何值時(shí),以F為圓心的⊙F恰好與直線AB、BC都相切?并求此時(shí)⊙F的半徑.
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【題目】如圖,已知△ABC∽△ADE,AE=5cm,EC=3cm,BC=7cm,∠BAC=45°,∠C=40°.
(1)求∠AED和∠ADE的大小;
(2)求DE的長(zhǎng).
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【題目】如圖,△ABC 在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn) A,B,C 的坐標(biāo)分別為 A(-2,4),B(4,2),C(2,-1).
(Ⅰ)請(qǐng)?jiān)谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系內(nèi),畫出△ABC 關(guān)于 x 軸的對(duì)稱圖形△A1B1C1,其中,點(diǎn) A,B,C 的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為A1,B1,C1;
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【題目】已知如圖,拋物線經(jīng)過點(diǎn)、.
求、的值;
如圖,點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱,過點(diǎn)的直線交軸于點(diǎn),交拋物線于另一點(diǎn).若,求的值;
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