Question

若不論k為何值，直線y=k（x-1）-

k2

4

與拋物線y=ax²+bx+c有且只有一個公共點，求a、b、c的值．

Answer 1

考點：二次函數(shù)的性質

專題：

分析：由直線y=k（x-1）-

k2

4

與拋物線y=ax²+bx+c有且只有一個公共點，可得ax²+（b-k）x+

k2

4

+k+c=0有相等的實數(shù)解，可得判別式△=0，又由不論k為任何實數(shù)，直線

k2

4

與拋物線y=ax²+bx+c有且只有一個公共點，即可得方程組

1-a=0 -2(2a+b)=0 b2-4ac=0

，繼而求得a，b，c的值．

解答：解：∵直線y=k（x-1）-

k2

4

與拋物線y=ax²+bx+c有且只有一個公共點，
∴方程組：

y=k(x-1)- k2 4 y=ax2+bx+c

只有一組解，
∴ax²+（b-k）x+

k2

4

+k+c=0有相等的實數(shù)解，
∴△=0，
∴（1-a）k²-2（2a+b）k+b²-4ac=0
∵對于k為任何實數(shù)，上式恒成立，
∴

1-a=0 -2(2a+b)=0 b2-4ac=0

，
∴a=1，b=-2，c=1．

點評：此題考查了二次函數(shù)的性質、一元二次方程根的情況、判別式的知識以及方程組的解法等知識．此題綜合性較強，難度較大，注意把函數(shù)交點問題轉化成一元二次方程根的問題是解此題的關鍵．