Question

【題目】如圖，正方形ABCD的邊長為2，點E為正方形外一個動點，∠AED＝45°，P為AB中點，線段PE的最大值是_____．

Answer 1

【答案】

【解析】

當點E在正方形右側(cè)時，連接AC，BD交于點O，連接PO，EO，根據(jù)A，C，E，D四點共圓，可得OE＝OD＝，再根據(jù)PE≤OP+OE＝，可得當點O在線段PE上時，PE＝OP+OE＝，則線段PE的最大值為；

當點E在正方形上方時，作斜邊為AD的等腰直角△AOD，則點E在以O為圓心，OA為半徑的圓上，當點P，點O，點E共線時，PE的值最大，求得此時PE最大值為；比較兩個最大值，可得最終結果．

解：如圖，若點E在正方形右側(cè)，連接AC，BD交于點O，連接PO，EO，

∵∠AED＝45°，∠ACD＝45°，

∴A，C，E，D四點共圓，

∵正方形ABCD的邊長為2，

∴OE＝OD＝BD＝，

∵P為AB的中點，O是BD的中點，

∴OP＝AD＝，

∵PE≤OP+OE＝+，

∴當點O在線段PE上時，PE＝OP+OE＝+，

即線段PE的最大值為+，

如圖，點E在正方形ABCD上方，

作斜邊為AD的等腰直角△AOD，∠AOD＝90°，

則點E在以O為圓心，OA為半徑的圓上，

∴當點P，點O，點E共線時，PE的值最大，

過點O作ON⊥AB，交BA延長線于點N，

∵AD＝2，AO＝DO，∠AOD＝90°

∴AO＝，∠OAD＝45°，

∵ON⊥AB，AD⊥AB

∴∠NAO＝∠NOA＝45°

∴AN＝NO＝

∴PO＝

∴PE最大值為，

故答案為.