Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，四邊形OABC的頂點O是坐標原點，點A在第一象限，點C在第四象限，點B的坐標為（60，0），OA=AB，∠OAB=90°，OC=50．點P是線段OB上的一個動點（點P不與點O、B重合），過點P與y軸平行的直線l交邊OA或邊AB于點Q，交邊OC或邊BC于點R，設點P橫坐標為t，線段QR的長度為m．已知t=40時，直線l恰好經過點C．

（1）求點A和點C的坐標；
（2）當0＜t＜30時，求m關于t的函數關系式；
（3）當m=35時，請直接寫出t的值；
（4）直線l上有一點M，當∠PMB+∠POC=90°，且△PMB的周長為60時，請直接寫出滿足條件的點M的坐標．

Answer 1

【答案】
（1）

解：如圖1，過點A作AD⊥OB，垂足為D，過點C作CE⊥OB，垂足為E，

∵OA=AB，

∴OD=DB=OB，

∵∠OAB=90°，

∴AD=OB，

∵點B的坐標為：（60，0），

∴OB=60，

∴OD=OB=×60=30，

∴點A的坐標為：（30，30），

∵直線l平行于y軸且當t=40時，直線l恰好過點C，

∴OE=40，

在Rt△OCE中，OC=50，

由勾股定理得：

CE===30，

∴點C的坐標為：（40，﹣30）；

（2）

解：如圖2，

∵∠OAB=90°，OA=AB，

∴∠AOB=45°，

∵直線l平行于y軸，

∴∠OPQ=90°，

∴∠OQP=45°，

∴OP=QP，

∵點P的橫坐標為t，

∴OP=QP=t，

在Rt△OCE中，

OE=40，CE=30，

∴tan∠EOC=，

∴tan∠POR==，

∴PR=OPtan∠POR=t，

∴QR=QP+PR=t+t=t，

∴當0＜t＜30時，m關于t的函數關系式為：m=t；

（3）

解：由（2）得：當0＜t＜30時，m=35=t，解得：t=20；

如圖3，

當30≤t≤40時，m=35顯然不可能；

當40＜t＜60時，∵OP=t，則BP=QP=60﹣t，

∵PR∥CE，

∴△BPR∽△BEC，

∴=，

∴=，

解得：PR=90﹣t，

則m=60﹣t+90﹣t=35，

解得：t=46，

綜上所述：t的值為20或46；

（4）

解：如圖4，

當∠PMB+∠POC=90°且△PMB的周長為60時，此時t=40，直線l恰好經過點C，

則∠MBP=∠COP，

故此時△BMP∽△OCP，

則=，

即=，

解得：x=15，

故M1（40，15），同理可得：M2（40，﹣15），

綜上所述：符合題意的點的坐標為：M1（40，15），M2（40，﹣15）．

【解析】（1）利用等腰三角形的性質以及勾股定理結合B點坐標得出A，C點坐標；
（2）利用銳角三角函數關系結合（1）中所求得出PR，QP的長，進而求出即可；
（3）利用（2）中所求，利用當0＜t＜30時，當30≤t≤60時，分別利用m與t的關系式求出即可；
（4）利用相似三角形的性質，得出M點坐標即可．
【考點精析】認真審題，首先需要了解相似三角形的判定與性質(相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方)．