Question

如圖，拋物線與x軸交于A，B兩點，與y軸交于C點，直線CD∥x軸交拋物線于D點．動點P，Q分別從C，D兩點同時出發(fā)，速度均為每秒1個單位，點P向射線DC方向運動，點Q向射線BD方向運動，設P，Q運動的時間為t（秒），AQ交CD于E．
（1）求線段AB與線段CD的長；
（2）求△APQ的面積S與t的函數(shù)關系式；
（3）連接BE．是否存在這樣的時刻t，使得∠AEB=∠BDC？若存在請求出t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）先令y=0，求出A，B，兩點的坐標，再令x=0，求出C點坐標，即可求出C，D兩點的坐標，再用兩點間的距離公式求出AB，CD兩點間的距離即可．
（2）作PF⊥x軸于F，QG⊥x軸于G，DH⊥x軸于H，由（1）中所求A，B，C，D，的坐標，根據(jù)三角形相似可求出PF，QG，F(xiàn)G，的長，再利用梯形的面積減去△APF與△BQG的面積即可．
（3）若∠AEB=∠BDC，則根據(jù)△AEC∽△EBD，△QED∽△QAB求出t的值．
解答：解：（1）當y=0時，（x-6）（x-19）=0，
∴x₁=6，x₂=19，
∴x₁=6，x₂=19，
∴A（6，0），B（19，0），
∴AB=13．
當x=0時，y=8，
∴C（0，8）．
當y=8時，（x-6）（x-19）=8，
解得x₁=0，x₂=25，
∴D（25，8），
∴CD=25．

（2）如圖，
作PF⊥x軸于F，QG⊥x軸于G，DH⊥x軸于H，
∵CD∥x軸，
∴PF=DH=OC=8，OH=CD=25，
∵OA=6，OB=19，
∴BH=OH-OB=6，
∴BD==10，
∵△BDH∽△BQG，
∴==．
由題意得CP=DQ=t，AF=t+6，
∴==，
∴QG=t+8，BG=t+6，
∴FG=t+19+t+6=t+25．
∴S=S_梯形PFGQ-S_△PAF-S_△AQG=（PF+QG）•FG-AF•PF-AG•QG=t²+8.8t+100．

（3）∵AC=BD=10，
∴四邊形ABDC為等腰梯形，
∴∠ACD=∠BDC．
若∠AEB=∠BDC，則∠AEC+∠BED=∠BED+∠EBD，
∴∠AEC=∠EBD．
同理，∠BED=∠EAC．
∴△AEC∽△EBD．
∴=，
即=，
∴DE=5（DE=20＞AB=13舍去），
∵△QED∽△QAB，
∴=，
即=，
解得t=．
點評：本題比較復雜，綜合考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標特點及等腰梯形的性質，注意某個圖形無法解答時，常常放到其他圖形中，利用圖形間的“和差“關系求解．