Question

【題目】已知拋物線與x軸交于A．B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，拋物線的頂點(diǎn)為D點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣1，0）．

（1）求D點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）如圖1，連接AC，BD并延長交于點(diǎn)E，求∠E的度數(shù)；

（3）如圖2，已知點(diǎn)P（﹣4，0），點(diǎn)Q在x軸下方的拋物線上，直線PQ交線段AC于點(diǎn)M，當(dāng)∠PMA=∠E時，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，﹣4）。

（2）∠E=45°

（3）點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（2，﹣3）或（，）。

【解析】

（1）將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入到拋物線的解析式求得c值，然后配方后即可確定頂點(diǎn)D的坐標(biāo)。

（2）連接CD、CB，過點(diǎn)D作DF⊥y軸于點(diǎn)F，首先求得點(diǎn)C的坐標(biāo)，然后證得△DCB∽△AOC得到∠CBD=∠OCA，根據(jù)∠ACB=∠CBD+∠E=∠OCA+∠OCB，得到∠E=∠OCB=45°。

（3）設(shè)直線PQ交y軸于N點(diǎn)，交BD于H點(diǎn)，作DG⊥x軸于G點(diǎn)，增大△DGB∽△PON后利用相似三角形的性質(zhì)求得ON的長，從而求得點(diǎn)N的坐標(biāo)，進(jìn)而求得直線PQ的解析式，設(shè)Q（m，n），根據(jù)點(diǎn)Q在直線PQ和拋物線上，得到，求得m、n的值后即可求得點(diǎn)Q的坐標(biāo)。

解：（1）把x=﹣1，y=0代入得：1+2+c=0，∴c=﹣3。

∴。

∴頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，﹣4）。

（2）如圖1，連接CD、CB，過點(diǎn)D作DF⊥y軸于點(diǎn)F，

由解得x=﹣1或x=3，∴B（3，0）。

當(dāng)x=0時，，∴C（0，﹣3）。

∴OB=OC=3。

∵∠BOC=90°，∴∠OCB=45°，BC=。

又∵DF=CF=1，∠CFD=90°，

∴∠FCD=45°，CD=。

∴∠BCD=180°﹣∠OCB﹣∠FCD=90°

∴∠BCD=∠COA。

又∵，∴△DCB∽△AOC。

又∵∠ACB=∠CBD+∠E=∠OCA+∠OCB，∴∠E=∠OCB=45°。

（3）如圖2，設(shè)直線PQ交y軸于N點(diǎn)，交BD于H點(diǎn)，作DG⊥x軸于G點(diǎn)，

∵∠PMA=45°，∴∠EMH=45°。∴∠MHE=90°。

∴∠PHB=90°。∴∠DBG+∠OPN=90°。

又∵∠ONP+∠OPN=90°，∴∠DBG=∠ONP。

又∵∠DGB=∠PON=90°，∴△DGB=∠PON=90°。

∴△DGB∽△PON。

∴，即，解得ON=2。

∴N（0，﹣2）。

設(shè)直線PQ的解析式為y=kx+b，

則，解得：。

∴直線PQ的解析式為。

設(shè)Q（m，n）且n＜0，∴。

又∵Q（m，n）在上，∴。

∴，解得：m=2或m=。

∴n=﹣3或n=。

∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（2，﹣3）或（，）。