Question

如圖，在Rt△ABC中，已知∠C=90°，以AC為直徑作⊙O，交AB于點(diǎn)D，點(diǎn)E為邊BC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．

（1）當(dāng)點(diǎn)E移動(dòng)到什么位置時(shí)，ED為⊙O的切線(xiàn)？并證明之；

（2）如果點(diǎn)E在（1）的位置的條件下，且ED為⊙O的切線(xiàn)，⊙O的半徑為，ED=2，求BD的長(zhǎng)．

 

Answer 1

（1）當(dāng)點(diǎn)E為BC中點(diǎn)時(shí)，ED為⊙O的切線(xiàn)       

      證明：連接OD                              

∵點(diǎn)O為直徑AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)

          ∴  OE為△ABC的中位線(xiàn)                   

∴OE//AB                                 

 ∴ ∠COE=  ∠A    ∠DOE=  ∠ODA     

∵OA=OD

 ∴ ∠ODA=  ∠A

 ∴ ∠COE=  ∠DOE             

又∵CO=DO  EO=EO

∴△ODE≌△OCE               

 ∴ ∠ODE=  ∠C=90             

又∵點(diǎn)C在⊙O上

∴ED為⊙O的切線(xiàn)            

（2）解：連接CD                     

         ∵ED為⊙O的切線(xiàn)

∴∠ODE=90°

∴在Rt△ODE中  OE=

由（1）得OE是△ABC的中位線(xiàn)

∴OE=AB

∴AB=2OE=2×                           

∵∠C=90°   則在Rt△ABC中

AB=5  直徑AC=2×=3

∴BC=                

又∵AC是⊙O的直徑

     ∴∠ADC=90°

∴S_△ABC=

∴CD=                  

在Rt△BDC中 BD=