【題目】如圖l,在矩形ABCD中,BC>AB,∠BAD的平分線AF與BD、BC分別交于點E、F,點O是BD的中點,直線OK∥AF,交AD于點K,交BC于點G.

(1)求證:△DOK≌△BOG;

(2)求證:AB+AK=BG:

(3)如圖2,若KD=KG=2,點P是線段KD上的動點(不與點D、K重臺),PM∥DG交KG于點M,PN∥KG交DG于點N,設(shè)PD=x,S△PMN=y,求出y與x的函數(shù)關(guān)系式.

【答案】(1)證明見解析(2)

【解析】(1)先根據(jù)AAS判定△DOK≌△BOG,(2)再根據(jù)等腰三角形ABF和平行四邊形AFKG的性質(zhì),得出結(jié)論BG=AB+AK;(3)利用△DKG∽△PKM∽△DPN,由相似三角形的性質(zhì)求出y與x的函數(shù)關(guān)系式.

解:(1)∵在矩形ABCD中,ADBC

∴∠KDO=GBO,∠DKO=BGO

∵點OBD的中點

DO=BO

∴△DOK≌△BOGAAS

(2)∵四邊形ABCD是矩形

∴∠BAD=ABC=90°ADBC

又∵AF平分∠BAD

∴∠BAF=BFA=45°

AB=BF

OKAF,AKFG

∴四邊形AFGK是平行四邊形

AK=FG

BG=BF+FG

BG=AB+AK

(3)解法一:

如圖,過點GGIKD于點I,

由(2)知,四邊形AFGK是平行四邊形,△ABF為等腰直角三角形.

∴AF=KG=2, .

∵四邊形ABCD是矩形,

∴GI=AB=,。

PD=x

PK=2﹣x

PMDGPNKG

∴四邊形PMGN是平行四邊形,△DKG∽△PKM∽△DPN

,

同理,

.

解法二:

如圖,過點P作PQ⊥KG于點Q,

∴KD=KG,∠KDG=∠KGD

又∵PNKG

∴∠PND=∠KGD

∴∠PND=∠KDFG

∴PN=PD=x.

∵AF∥KG,

∴∠PKM=∠DAF=45°,又∵PK=2﹣x

又∵PN∥KG

.

“點睛”本題主要考查了矩形的性質(zhì)以及平行四邊形的性質(zhì),解題時需要運用全等三角形的判定與性質(zhì).解答此題的關(guān)鍵是運用相似三角形的面積之比等于相似比的平方這一性質(zhì),并根據(jù)圖形面積的等量關(guān)系列出方程進行求解,難度較大,具有一定的綜合性.

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(1)求tanB的值.

(2)求點M落在邊BC上時t的值.

(3)當正方形PQMN與△ABC重疊部分為四邊形時,求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式.

(4)邊BC將正方形PQMN的面積分為兩部分時,設(shè)這兩部分的面積比為k.當時,直接寫出t的取值范圍.

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